Устойчивость многомерных систем.

Если уравнение автоматической системы записано в переменных состояния (1.30), где матрица коэффициентов

то характеристическое уравнение системы может быть получено путем приравнивания нулю определителя где I — единичная матрица размером . В результате имеем

Раскрывая определитель, получим характеристическое уравнение, аналогичное (1.12):

Полином в левой части этого выражения называют характеристической или собственной функцией матрицы А, а корни характеристического уравнения — собственными значениями матрицы А.

Автоматическая система, описываемая уравнением (1.30), устойчива тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы А имеют отрицательные вещественные части.

Каждой матрице А может быть поставлена в соответствие квадратичная форма Если для всех эта квадратичная форма имеет строго положительные (отрицательные) значения, то ее называют положительно (отрицательно) определенной формой. Соответственно матрица А также называется положительно (отрицательно) определенной.

Рассмотрим случай, когда матрица А — симметрическая, т. е. ее элементы удовлетворяют равенству

Собственные значения симметрической положительно (отрицательно) определенной матрицы являются положительными (отрицательными) действительными числами.

Существует критерий Сильвестра положительной определенности симметрической матрицы. Симметрическая матрица А будет положительно определенной, если все ее главные диагональные миноры строго положительны, т. е. если

Таким образом, в случае, когда матрица А коэффициентов уравнения (1.30) симметрическая, вопрос об устойчивости системы, описываемой этим уравнением, может быть решен на основании критерия Сильвестра положительной определенности матрицы А, взятой с обратным знаком, а именно: если матрица положительно определенная, то

соответственно матрица А будет отрицательно определенной и, следовательно, все ее собственные значения отрицательны и система устойчива.