§ 2.4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН

Общие сведения. При исследовании систем радиоавтоматики, особенно описываемых дифференциальными уравнениями высокого порядка, а также уравнениями с переменными коэффициентами и

нелинейными уравнениями, широкое применение находят электронные вычислительные машины, как аналоговые (АВМ), так и цифровые (ЦВМ).

Применение вычислительных машин позволяет исследовать процессы в системах в тех случаях, когда нахождение решения дифференциального уравнения системы аналитическими методами затруднительно или вообще невозможно. Исследование систем радиоавтоматики посредством вычислительных машин называют моделированием этих систем — аналоговым или цифровым, в зависимости от типа вычислительной машины.

Моделирование систем радиоавтоматики на АВМ.

Аналоговое моделирование динамических систем и, в частности, систем радиоавтоматики основано на том, что процессы в аналоговых вычислительных машинах описываются дифференциальными уравнениями. Причем схему модели на АВМ можно составить так, что дифференциальное уравнение модели будет таким же, как и дифференциальное уравнение исследуемой системы. Тогда изменения во времени выходной величины модели будут характеризовать соответствующие изменения выходной величины системы.

Существует две разновидности электронных моделирующих машин: модели структурного типа и модели матричного типа. Первые позволяют моделировать исследуемую систему по ее дифференциальному уравнению, записанному в обычном виде, или по ее структурной схеме, что дает возможность достаточно просто исследовать влияние параметров системы на ее динамические характеристики. Модели матричного типа требуют записи дифференциальных уравнений исследуемой системы в особой матричной форме и потому менее удобны для исследования замкнутых автоматических систем.

В дальнейшем рассмотрим лишь модели структурного типа.

Основным элементом аналоговой вычислительной машины является операционный усилитель, представляющий собой усилитель постоянного тока с большим коэффициентом усиления по напряжению (порядка ). Во входную цепь операционного усилителя включается некоторое сопротивление и кроме того, усилитель охватывается отрицательной обратной связью через сопротивление как показано на рис. 2.15. При этом передаточная функция операционного усилителя выражается через сопротивления

Знак «минус» в (2.36) показывает, что операционный усилитель инвертирует входной сигнал (меняет его знак). Это связано с установкой в усилителе нечетного числа каскадов.

Если во входную цепь операционного усилителя включить резисторы а в цепь обратной связи сопротивление как показано на рис. 2.16, то получим суммирующий усилитель, выходное напряжение которого

или при

Включая во входную цепь и в цепь обратной связи операционного усилителя различные комплексные сопротивления, получим, как следует из (2.36), усилители с различными передаточными функциями.

Рис. 2.15

Рис. 2.16

Это дает возможность моделировать динамические звенья автоматических систем. Схемы набора на аналоговой модели типовых звеньев приведены в табл. 2.1, в соответствии с которыми могут быть найдены соответствующие передаточные функции.

1. Безынерционное звено. На основании (2.36) имеем

2. Идеальное интегрирующее звено. В соответствии с (2.36) находим

3. Апериодическое звено первого порядка. Имеем На основании (2.36) получаем

4. Инерционное дифференцирующее звено. Имеем . В соответствии с (2.36) получаем

5. Изодромное звено. Имеем и в соответствии с (2.36) получаем

В некоторых АВМ (например, в машине ) отсутствует возможность включения последовательной -цепи в цепь обратной связи операционных усилителей. В этом случае изодромное звено набирают на модели в соответствии с его определением как параллельного соединения идеального интегрирующего и безынерционного звеньев по схеме рис. 2.17, для которой

(см. скан)

Продолжение (см. скан)

где

6. Апериодическое звено второго порядка набирают как последовательное соединение двух апериодических звеньев первого порядка. Для схемы набора табл. 2.1, п. 6 имеем

7. Инерционное интегрирующее звено набирают в виде последовательного соединения идеального интегрирующего звена и апериодического звена первого порядка. В соответствии со схемой табл. 2.1, п. 7 имеем

где

Рис. 2.17

8. Колебательное звено формируют на модели путем охвата отрицательной обратной связью инерционного интегрирующего звена, как показано в табл. 2.1, п. 8. Здесь на операционном усилителе 1 набрано идеальное интегрирующее звено, на операционном усилителе 2 — апериодическое звено первого порядка, операционный усилитель 3 является инвертором, необходимым для получения отрицательной обратной связи (если в контуре модели замкнутой системы содержится четное число усилителей, то обратная связь будет положительной).

Для схемы табл. 2.1, п. 8 при обратная связь будет единичной, и в этом случае из (2.37) в соответствии с (1.50) имеем

где

При этом

9. Неустойчивое апериодическое звено первого порядка формируется на модели в виде замкнутой динамической системы с положительной обратной связью. Для получения положительной обратной связи в онтур модели замкнутой системы включается четное число операционных усилителей. В качестве примера рассмотрим схему набора на модели неустойчивого апериодического звена первого порядка. Это звено может быть получено путем охвата положительной обратной связью идеального интегрирующего звена, как показано в табл. 2.1, п. 9.

Для разомкнутогоконтура модели звена имеем

После замыкания обратной связи (при имеем единичную обратную связь) и согласно (1.50) получим что соответствует неустойчивому звену.

При моделировании автоматических систем реальные переменные, характеризующие процессы в исследуемой системе, отображаются напряжениями, которые называют машинными переменными. Определение характеристик переходного процесса в исследуемой системе осуществляется на основании визуального наблюдения на экране осциллографа изменений во времени выходной машинной переменной модели.

Соответствие между машинными и реальными переменнымн устанавливается посредством масштабных коэффициентов. Обозначив входное и выходное напряжение модели, имеем где масштабный коэффициент, имеющий размерность Масштабный коэффициент выбирают так, чтобы при заданном максимальном значении задающего воздействия удовлетворялись условия: доп и где максимальное допустимое значение напряжения — машинной переменной, определяемое напряжением питания машины и указываемое в ее техническом описании. Учитывая возможное перерегулирование в исследуемой системе, составляющее 10—50%, целесообразно выбирать из условия или

Если длительность переходных процессов в исследуемой системе составляет доли секунды, то наблюдение переходного процесса на экране осциллографа затруднительно.

В таких случаях применяют масштабирование времени, т. е. вводят машинное время причем масштабный коэффициент времени выбирают из условия получения желаемой длительности переходной характеристики модели при заданной длительности переходной характеристики системы.

Обычно выбирают с и при известном определяют как целую часть отношения При этом постоянные времени

и коэффициенты передачи звеньев пересчитывают в машинные параметры в соответствии с соотношениями:

для дифференцирующих звеньев,

для позиционных звеньев,

для интегрирующих звеньев.

для добротности системы с астатизмом порядка.

Соответственно единица измерения машинного времени (машинная секунда) т. е. скорость протекания процессов в модели уменьшается в раз по сравнению по скоростью протекания процессов в моделируемой системе.

Набор задачи на электронной модели структурного типа может быть осуществлен двумя способами: 1) по дифференциальному уравнению исследуемой системы; 2) по структурной схеме исследуемой системы [5].

Рассмотрим моделирование системы по ее дифференциальному уравнению. Для определенности рассмотрим систему АСН, описываемую дифференциальным уравнением третьего порядка (1.6), которое запишем в виде

Переходя к машинным переменным получим дифференциальное уравнение модели исследуемой системы

которое с точностью до обозначений входной и выходной переменных совпадает с уравнением исследуемой системы.

Для составления семы набора уравнения (2.39) на модели разрешим это уравнение относительно старшей производной:

где

Рассмотрим цепочку из трех последовательно соединенных интеграторов (рис. 2.18). Если на вход первого интегратора подать величину то на выходе интеграторов получим соответственно (с учетом того, что каждый операционный усилитель изменяет знак напряжения)

Просуммировав эти величины и входну величину с соответствующими коэффициентами, получим на выходе сумматора величину, определяемую правой частью выражения (2.40), т. е. величину которая поступает на вход первого интегр атора. Таким образом, будет получена схема набора дифференциального уравнения (2.38), представленная на рис. 2.18.

Подавая на вход модели напряжение получим на выходе напряжение воспроизводящее переходную характеристику исследуемой системы.

Преимуществом рассмотренного метода моделирования автоматических систем является сравнительная простота схемы набора на модели дифференциального уравнения, в которой используются усилители, выполняющие простейшие типовые операции — интеграторы, инверторы и сумматоры.

Рис. 2.18

Недостатком метода является невозможность исследования влияния отдельных параметров системы на ее динамические характеристики, что обусловлено тем, что каждый коэффициент дифференциального уравнения системы зависит от нескольких ее параметров, а не от одного.

В этом отношении более удобным является метод моделирования системы по ее структурной схеме. При использовании этого метода составляют модели звеньев исследуемой системы, затем модели звеньев соединяют между собой в соответствии со структурной схемойсистемы и замыкают цепь главной обратной связи. При этом первый (входной) операционный усилитель модели всегда является сумматором с двумя входами: один для машинного управляющего воздействия и второй для машинного сигнала обратной связи

Поскольку обратная связь должна быть отрицательной, то, если в контуре модели системы содержится нечетное число последовательно соединенных операционных усилителей, выходное напряжение модели подводится непосредственно к первому операционному усилителю модели, в противном случае — через инвертирующий усилитель с коэффициентом передачи

Рассмотрим составление схемы набора системы АСН при моделировании ее по структурной схеме. Уравнение (1.6) этой системы получено из совокупности уравнений (см. § 1.3), на основании которых напишем передаточные функции функциональных элементов этой системы.

Передаточная функция дискриминатора соответствует безынерционному звену.

Передаточная функция усилителя соответствует апериодическому звену первого порядка.

Передаточная функция объекта управления — исполнительного двигателя с редуктором и следящей антенной

соответствует инерционному интегрирующему звену.

Для упрощения схемы набора объединим звенья, соответствующие дискриминатору и усилителю, в одно звено с передаточной функцией:

Тогда структурная схема рассматриваемой системы может быть представлена в виде последовательного соединения двух динамических звеньев: апериодического звена первого порядка с передаточной функцией (2.42) и инерционного интегрирующего звена с передаточной функцией (2.41), как показано на рис. 2.19.

Рис. 2.19

Передаточная функция разомкнутого контура этой системы

Составив в соответствии с табл. 2.1 схемы набора на модели указанных звеньев и соединив их в соответствии со схемой рис. 2.19, получим схему набора исследуемой системы, представленную на рис. 2.20.

Рис. 2.20

В состав модели включен делитель напряжения с регулируемым коэффициентом передачи для регулировки коэффициента передачи К модели.

Передаточная функция разомкнутого контура медели системы АСН, соответствующая схеме рис. 2.20:

где

добротность по скорости модели исследуемой системы;

постоянная времени модели исполнительного двигателя системы;

постоянная времени модели усилителя исследуемой системы, совпадает с передаточной функцией системы (2.43).

Выбрав масштабный коэффициент времени определим при заданных и системы соответствующие параметры модели: т. е. Затем на основании соотношений (2.45), (2.46), (2.47) подберем значения сопротивлений резисторов в схеме набора, учитывая, что емкости конденсаторов в аналоговых вычислительных машинах имеют значение (в некоторых машинах имеются конденсаторы со значениями емкости

Наличие зависимостей вида (2.45) — (2.47), выражающих значения машинных параметров системы через сопротивления и емкости схемы набора, дает возможность достаточно просто изменять значения добротности и постоянных времени звеньев системы при исследовании влияния этих параметров на динамические характеристики системы.

Так, добротность системы на модели можно изменять в широких пределах изменением коэффициента передачи делителя напряжения.

Для изменения постоянных времени апериодических звеньев целесообразно включать в цепь обратной связи операционных усилителей вместо конденсаторов магазины емкостей. При этом изменение емкости, устанавливаемой на одном магазине, отражается, как это следует из (2.46) и (2.47), назначении лишь одной постоянной времени.

При моделировании автоматических систем, содержащих нелинейные звенья, метод моделирования по структурной схеме также имеет определенные преимущества перед методом моделирования по дифференциальному уравнению. Типовое нелинейное звено (см. § 1.1) набирают на операционном усилителе с использованием диодов и включают в модель системы в соответствии с ее структурной схемой. Вопросы моделирования на АВМ нелинейных автоматических систем рассмотрены, например, в [4].

Моделирование систем радиоавтоматики на ЦВМ.

Недостатком аналоговых вычислительных машин является сравнительно невысокая точность, не превышающая нескольких процентов [4]. Если требуется получение переходной характеристики системы с более высокой точностью (порядка десятых долей процента), то целесообразно применение для исследования автоматических систем цифровых вычислительных машин. Цифровая вычислительная машина используется для численного решения дифференциального уравнения, описывающего процессы в

исследуемой системе. В библиотеках программ современных вычислительных машин имеются стандартные программы для решения дифференциальных уравнений достаточно широкого класса, в том числе и нелинейных. Поэтому трудностей при использовании ЦВМ для исследования систем радиоавтоматики, связанных с необходимостью разработки программы численного интегрирования дифференциального уравнения, как правило, не возникает.

Заметим, что при инженерных расчетах, связанных с вычислением переходных характеристик линейных систем радиоавтоматики, описываемых дифференциальными уравнениями невысокого порядка (пя-того-шестого), а также при решении соответствующих задач курсового и дипломного проектирования весьма эффективным является использование программируемых микрокалькуляторов типа

Так, микрокалькулятор типа дает возможность вычислить переходные характеристики линейных систем, описываемых уравнениями до шестого порядка включительно.