Переходная функция и функция веса.

Так как коэффициенты уравнения (4.1) меняются с течением времени, то эти функции будут зависеть от момента приложения единичного скачка или единичного импульса на входе.

На рис. 4.1 показаны графики изменения во времени одного из коэффициентов исходного уравнения переходной функции и функции веса При поступлении на вход нестационарной системы единичной ступенчатой функции реакция ее, представляющая собой переходную функцию данной системы оказывается зависящей от двух переменных: текущего времени отсчитываемого от некоторого момента, соответствующего, например, началу работы системы, и времени (смещения), соответствующего поступлению на вход ступенчатой функции. Ее можно также представить в виде функции смещения и текущего времени отсчитываемого от момента приложения ступенчатой функции на входе.

Если на вход подать единичную импульсную функцию, которую можно представить как предел отношения

то процесс на выходе, т. е. функцию веса, по принципу суперпозиции, можно представить в виде разности двух смещенных на переходных функций с измененным в раз масштабом:

Правая часть этого выражения — производная от переходной функции по аргументу с обратным знаком. В результате получим формулу, связывающую функцию веса системы с переходной функцией

Рис. 4.1

Весовая функция оказывается зависящей от тех же переменных: Ее можно изобразить в виде некоторой поверхности (рис. 4.2). Эта поверхность переходит в плоскость при Границе перехода поверхности в плоскость соответствует биссектриса Это объясняется тем, что в реальных системах реакция не может появиться ранее, чем будет приложен импульс на входе системы [4]. Поэтому при функция веса должна быть тождественно равна нулю. Сечение поверхности весовой функции вертикальной плоскостью, параллельной оси (рис. 4.2, а), дает весовую функцию для зафиксированного

момента приложения единичного импульса на входе системы Эту функцию называют нормальной весовой функцией системы с переменными параметрами:

Она является параметрической функцией, так как в нее входит фиксированный параметр и ее можно использовать для характеристики переходных процессов в нестационарной системе.

Рис. 4.2

Сечение поверхности весовой функции вертикальной плоскостью, параллельной оси дает так называемую сопряженную функцию веса (рис. 4.2, б): Она может быть получена путем обработки семейства нормальных весовых функций, построенных для различных моментов приложения единичного входного импульса (рис. 4.3). Эта функция также является параметрической, так как содержит параметр

Рис. 4.3

Сопряженная функция является функцией смещения но может быть представлена и как функция (рис. 4.2, б), называемого реверс-смещением, так как отсчитывают от точки в сторону, противоположную смещению Это осуществляется подстановкой в сопряженную весовую функцию значения при

Проиллюстрируем сказанное примером. Пусть имеется весовая функция нестационарной системы вида: . Зафиксировав смещение и положив получаем

нормальную функцию веса: или в другом виде, при переходе к аргументу

Нормальная функция веса показана на рис. 4.4, а, б. Зафиксировав текущее время и положив получим сопряженную функцию веса (рис. 4.4, в):

Перейдя к реверс-смещению получим

Эта функция построена на рис. 4.4, г. Весовая функция является характеристикой линейной нестационарной системы.

Рис. 4.4

Ее сечение (см. рис. 4.2, а), т. е. нормальная весовая функция, построенная для различных значений смещения где время работы системы, может быть использована для оценки качества регулирования (колебательности, быстроты затухания процессов и т. д.). Второе ее сечение (см. рис. 4.2, б), т. е. сопряженная весовая функция, может быть использована для нахождения реакции системы на входное воздействие произвольного вида. Пусть на систему с весовой функцией действует входной сигнал Элементарная реакция системы на импульс, приложенный в момент времени может быть найдена как произведение площади импульса на весовую функцию, которая

является реакцией системы на импульс единичной площади:

Полный сигнал на выходе системы определяем как сумму элементарных реакций вида (4.5):

Интегрирование ведем по смещению Весовая функция является сопряженной. Верхний предел интегрирования можно заменить на бесконечность, так как при весовая функция тождественно равна нулю:

При переходе к реверс-смещению формула (4.6) может быть представлена в виде интеграла свертки: