Случайные процессы в замкнутых нелинейных системах.

В замкнутых системах (см. рис. 5.5, а) при использовании статистической линеаризации возникают трудности, связанные с тем, что сигнал на входе нелинейного элемента в канале ошибки зависит от получаемых коэффициентов линеаризации, которые в свою очередь определяются параметрами сигнала.

Рис. 5.17

Это приводит к необходимости решать систему уравнений, связывающих эти величины. Рассмотрим задачу анализа нелинейной системы при действии случайного входного сигнала. При этом будем предполагать, что регулярная составляющая исследуемой величины системы (математическое ожидание) постоянна или медленно меняется во времени по сравнению с составляющими основных частот спектра случайной составляющей.

Рассмотрим методику расчета нелинейных замкнутых систем при случайных воздействиях применительно к расчету ошибки. При этом предположим, что нелинейность находится во входных элементах канала управления. Это может быть, например, дискриминатор. Тогда входным сигналом для нелинейности будет ошибка системы управления. В этом случае математическое ожидание х соответствует математическому ожиданию а среднеквадратичное значение

Рассмотренная методика может быть использована и для расчета других величин, однако в соответствии с изложенным при статистической линеаризации нелинейностей нужно рассматривать величину являющуюся входной величиной нелинейности (см. рис. 5.12).

Пусть динамика системы описывается уравнением, записанным для ошибки, вида

где ошибка системы (у — управляемая величина); полиномы; нелинейная функция; задающее воздействие.

Задающее воздействие равно сумме математического ожидания и случайной составляющей: Ошибка системы тоже может быть представлена в виде такой суммы:

Пусть в системе отсутствуют автоколебания. Тогда, применив статистическую линеаризацию (5.18) и подставив полученное выражение в (5.42), разобьем последнее на два:

соответственно для регулярных и случайных составляющих задающего воздействия и ошибки. При этом определяют для каждой конкретной нелинейности в соответствии с изложенным.

В установившемся режиме оказываются постоянными. Тогда уравнение (5.44) становится алгебраическим:

В уравнение (5.45) входят две неизвестные величины Таким образом, из этого уравнения может быть определена зависимость математического ожидания ошибки как функции среднеквадратичного значения случайной составляющей ошибки

Равенство (5.45) справедливо для статических систем. В астатических системах Это соответствует астатизму первого порядка. Тогда вместо (5.45) получим равенство

Здесь - постоянное значение скорости изменения задающего воздействия.

Из (5.46) также может быть определена зависимость Аналогичное уравнение может быть получено и при астатизме более высокого порядка.

В уравнении (5.44) случайная составляющая входного воздействия задана в виде спектральной плотности или корреляционной функции Тогда на основании изложенного в гл. 3 может быть

найдена дисперсия случайной составляющей ошибки:

Здесь в зависимости надо заменить найденной зависимостью Тогда в уравнении (5.47) остается одна неизвестная величина Интеграл в (5.47) может быть вычислен с помощью приложения 1, а затем определено значение

После нахождения может быть вычислено и математическое ожидание ошибки по ранее определенной зависимости Таким образом, рассмотренная методика позволяет определить два первых момента ошибки в исследуемой системе.

Однако зависимость не всегда можно найти из уравнений (5.46) и (5.47) в явном виде. Поэтому совместное решение уравнений, для приходится делать либо численно, для чего целесообразно использовать ЭВМ, либо графически.

При исследовании неустановившихся режимов, когда полезный сигнал управления меняется во времени, исследуемый процесс уже не будет стационарным. Однако в большинстве случаев полезный сигнал можно считать медленно меняющимся по сравнению с изменением во времени помехи. Тогда возможно в первом приближении исследовать случайный процесс как стационарный. Однако в этом случае нельзя использовать формулы (5.45) и (5.46), справедливые для установившегося режима, а следует воспользоваться дифференциальным уравнением (5.43). Как и в случае установившегося режима, совместное решение двух уравнений (5.43) и (5.47) может быть произведено на основе численных методов с использованием ЭВМ или графическим путем.

Рассмотрим существо этих методов. Уравнение (5.47) запишем в виде

где интеграл, определяемый по приложению 1. Затем построим зависимость левой и правой частей (5.48) от Левая часть дает параболу 1 (рис. 5.18), а правую часть можно построить, задаваясь каждый раз постоянным значением и вычисляя интеграл (кривые 2). Перенеся абсциссы точек пересечения этих кривых на плоскость и отложив для каждой из них соответствующие кривым 2 ординаты получим искомую зависимость в виде кривой 3.

Подставив полученную зависимость в вычисленное для данной нелинейности выражение что в рассматриваемом случае дает исключим из него величину и получим функцию от одной переменной которую можно назвать функцией смещения. Здесь математические ожидания представляют собой

смещения центра случайных составляющих на входе и на выходе нелинейности.

Когда функция смещения найдена, ее можно подставить в дифференциальное уравнение (5.43):

и отсюда по заданной функции путем решения дифференциального уравнения найти регулярную составляющую ошибки.

Функция смещения обычно имеет вид плавной кривой (рис. 5.19), которую в некоторых пределах можно подвергнуть линеаризации:

Тогда уравнение (5.49) оказывается линейным:

Рис. 5.18

Рис. 5.19

Часто встречается случай, когда линейная часть системы с передаточной функцией не пропускает спектр частот, соответствующий случайной составляющей сигнала и определяемый спектральной плотностью Тогда отыскание величины значительно упрощается. Из (5.47) следует

т. е. не зависит от формы нелинейности и от величины а непосредственно равно дисперсии случайной составляющей

В этом случае вместо дифференцирования функции смещения (5.50) можно определить коэффициент передачи нелинейного звена непосредственно из выражения которое для ошибки имеет вид Тогда

Здесь получаем как функцию от т. е.

Затем надо подставить величину

Вместо этого можно воспользоваться одной из кривых на рис. соответствующей значению В результате подстановки (5.50) или (5.53) уравнение для определения регулярной срставляющей ошибки (5.45) станет линейным.

Отметим, что согласно формуле (5.47) величина зависит от спектральной плотности помехи Поэтому и определяемая через величину функция смещения и крутизны зависят не только от параметров системы, но и от спектральной плотности входного сигнала. Это означает, что все статические и динамические качества и даже устойчивость системы по полезному сигналу будут зависеть не только от параметров системы, но и от входного воздействия. Следовательно, устойчивая при отсутствии помех нелинейная система может при определенном уровне помех потерять свои качества.