Глава 5. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

§ 5.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Виды нелинейных систем.

Нелинейной называют систему, описываемую нелинейным дифференциальным уравнением. Обычно система является нелинейной вследствие наличия в ней одного или нескольких звеньев, описываемых нелинейным дифференциальным уравнением или имеющим нелинейную статическую характеристику. При этом система может иметь в своем составе линейные или линеаризованные обычными методами звенья.

Нелинейным считают такое звено, которое не поддается линеаризации в том смысле, что отказ от учета его нелинейных свойств существенно искажает результаты последующего анализа и делает их неприемлемыми.

Нелинейные звенья могут входить в состав автоматической системы вследствие неизбежности применения тех или иных технических устройств, но могут быть случаи, когда нелинейные зависимости специально вводятся в систему для получения каких-либо желаемых ее свойств.

Виды нелинейностей.

Одним из характерных видов нелинейных статических характеристик звена где входная и выходная величины, являются характеристики релейного типа (рис. 5.1). Они присущи часто используемым в автоматических системах реле различных типов (электронные, электрические, пневматические, механические и др.) [20].

Рис. 5.1

Характеристики на рис. 5.1, а, б относятся к двухпозиционному реле (имеет два устойчивых положения). Первый случай соответствует идеальному реле, второй — реле с гистерезисной петлей. Характеристики на рис. 5.1, в, г относятся к трехпозиционному реле (имеет три устойчивых положения). Первый случай соответствует идеальному реле, второй — реле с гистерезисной петлей.

Для характеристики на рис. 5.1, а может быть записана аналитическая зависимость вида

для характеристики на рис. 5.1, б

Подобным образом можно записать аналитические выражения для характеристик, изображенных на рис. 5.1, в, г.

Нелинейная статическая характеристика может иметь непрерывный вид (рис. 5.2). Характеристики на рис. 5.2, а, б соответствуют ограниченно линейному звену с насыщением. Такие характеристики имеют, как правило, все усилители. Характеристика на рис. 5.2, в соответствует ограниченно линейному звену с зоной нечувствительности и насыщением.

Рис. 5.2

Такие характеристики имеют обычно исполнительные элементы (двигатели различного вида). В этом случае входная величина представляет собой напряжение, прикладываемое к двигателю, а выходная величина его частоту вращения. Появление зоны нечувствительности объясняется здесь наличием сил сухого трения на оси двигателя, редуктора и приводимого в движение объекта.

Рис. 5.3

Криволинейные статические характеристики произвольного типа (рис. 5.3) свойственны многим радиотехническим функциональным элементам. Так, характеристики, подобные изображенным на рис. 5.3, а, встречаются в различного рода дискриминаторах. Характеристики на рис. 5.3, б, в соответствуют линейному и квадратичному детекторам.

Наряду с однозначными характеристиками (рис. 5.3) имеют место и неоднозначные характеристики (рис. 5.4). Характеристика на рис. 5.4, а соответствует петлеобразной (гистерезисной) зависимости. Она может определяться, например, кривой намагничивания сердечника. Характеристика на рис. 5.4, б соответствует люфту в механической передаче, например в редукторе, соединяющем двигатель с объектом. Встречаются статические характеристики и более сложного вида.

Динамические нелинейности описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Так, в функции входной или выходной

величины может меняться «постоянная времени» в уравнении апери. одического звена первого порядка:

Другой пример — зависимость коэффициента демпфирования колебательного звена от входной величины

В некоторых случаях в функции от входной или выходной величины может меняться структура автоматической системы, что тоже соответствует появлению нелинейности. Подобные системы называют системами с переменной структурой.

Наконец, для улучшения качества управления или для придания системе желаемых свойств можно применять нелинейные законы управления. Так, при формировании управляющего воздействия в функции ошибки управления могут быть использованы зависимости

где константы.

Рис. 5.4

В первом случае будет более энергичное действие регулятора при больших отклонениях и большой запас устойчивости в установившемся состоянии. Во втором случае при больших отклонениях будет менее энергичное, но более плавное управление и повышенная точность (возможно с меньшим запасом устойчивости) в установившемся состоянии. Подобные нелинейные законы носят название функциональных.

Кроме того, могут быть использованы так называемые логические нелинейные законы управления, когда формирование управляющего воздействия происходит с помощью различных логических устройств, оптимизирующие нелинейные законы, которые соответствуют оптимальной нелинейной фильтрации, и др.