Методы исследования нелинейных систем.

Общим методом исследования устойчивости нелинейных систем является прямой метод Ляпунова. В его основе лежит теорема Ляпунова об устойчивости нелинейных систем. В качестве аппарата исследования используется так называемая функция Ляпунова, представляющая собой знако-определенную функцию координат системы, имеющую также знако-определенную производную по времени. Применение этого метода ограничивается его сложностью.

Более простым методом расчета устойчивости нелинейных систем является метод, разработанный румынским ученым В. М. Поповым. Однако он пригоден для некоторых частных случаев.

Процессы в нелинейной системе могут быть исследованы на основе кусочно-линейной аппроксимации. В этом случае нелинейные характеристики отдельных звеньев разбивают на ряд линейных участков, в пределах которых задача оказывается линейной и может быть решена достаточно просто. На границах участков необходимо произвести «сшивание» отдельных кусков процесса в единый процесс. Метод может применяться, если число участков, на которые разбивается нелинейная характеристика, невелико. Это имеет, например, место для релейных характеристик (см. рис. 5.1). При большом числе участков метод оказывается слишком громоздким. Однако использование ЭВМ позволяет преодолеть эту трудность и с успехом рассчитывать процессы в нелинейных системах при любых нелинейных характеристиках и вообще при наличии нелинейных зависимостей произвольного вида.

Метод фазового пространства в принципе позволяет исследовать системы с нелинейностями произвольного вида, а также с несколькими иелинейностями. При этом в фазовом пространстве строят так называемый фазовый портрет процессов, протекающих (в нелинейной системе. По виду фазового портрета можно судить об устойчивости, возможности возникновения автоколебаний, точности в установившемся режиме. Однако размерность фазового пространства равка порядку дифференциального уравнения нелинейной системы. Это затрудняет использование метода для исследования систем, описываемых дифференциальным уравнением выше второго порядка. В случае дифференциального уравнения второго порядка фазовое пространство представляет собой фазовую плоскость, и этот метод может быть с успехом применен [4].

Для анализа случайных процессов в нелинейных автоматических системах можно применять математический аппарат теории марковских случайных процессов. Однако сложность метода и возможность

решения уравнения Фоккера — Планка, которое требуется при анализе, только для уравнений первого и в некоторых случаях второго порядка, ограничивает его использование [13].

Все перечисленные методы относятся к числу точных. Их сложность и ограниченность применения привели к разработке приближенных, но более простых методов исследования нелинейных систем. Приближенные методы позволяют во многих случаях достаточно просто получить прозрачные и легко обозримые результаты анализа нелинейных систем [41.

Метод гармонической линеаризации основан на замене нелинейного элемента его линейным эквивалентом, причем эквивалентность достигается для некоторого движения системы, близкого к гармоническому. Это позволяет достаточно просто исследовать возможность возникновения автоколебаний в системе. Однако метод может быть применен и для исследования переходных процессов [4].

Метод статистической линеаризации также основан на замене нелинейного элемента его линейным эквивалентом, но при движении системы под действием случайных возмущений. Метод позволяет сравнительно просто исследовать поведение нелинейной системы при случайных воздействиях и найти некоторые статистические характеристики.