Синтез фильтров Калмана.

В общем случае фильтр Калмана представляет собой многомерный нестационарный следящий измеритель, т. е. систему с переменными параметрами.

Рис. 6.3

Нестационарность фильтра Калмана обусловлена, во-первых, тем, что фильтр Калмана является оптимальным при конечном времени наблюдения, т. е. является оптимальным не только в установившемся, но и в переходном режиме, а во-вторых, тем, что задающее воздействие и помеха могут быть нестационарными случайными процессами.

Задача синтеза такого многомерного нестационарного фильтра состоит в следующем [2]. Дан случайный нестационарный n-мерный процесс описываемый уравнением состояния

где и случайный -мерный процесс типа белого шума, порождающий случайный процесс квадратная матрица коэффициентов размера прямоугольная матрица коэффициентов размера В отличие от (6.44) коэффициенты уравнения (6.46) переменные, что является следствием нестационарности процесса Корреляционная матрица порождающего белого шума и имеет

где матрица размера элементы которой имеют размерность и смысл спектральных плотностей и взаимных спектральных плотностей составляющих процесса дельта-функция.

На вход синтезируемого фильтра поступает -мерная

совокупность наблюдаемых величин, имеющая смысл многомерного входного воздействия:

где матрица наблюдений размера случайный -мерный процесс типа белого шума (например, флуктуационные помехи в каналах связи) с корреляционной матрицей

здесь — положительно определенная симметричная матрица размера для которой существует обратная матрица

Элементы матрицы имеют смысл и размерность спектральных плотностей и взаимных спектральных плотностей составляющих и -мерной помехи

Оптимальный фильтр, имея на входе совокупность наблюдаемых величин должен дать оценку процесса оптимальную по критерию минимума среднеквадратичной ошибки измерений каждой из составляющих процесса

Выражение для критерия оптимума многомерного фильтра Калмана аналогично формуле (6.9) и имеет вид где

Как доказывается в теории оптимальной фильтрации [8], оптимальная оценка процесса удовлетворяет -мерному матричному дифференциальному уравнению (уравнение оценки)

где

матричный коэффициент передачи оптимального -мерного фильтра (фильтра Калмана);

дисперсионная матрица ошибок фильтра. Элементами последней матрицы являются величины

причем на главной диагонали этой матрицы находятся дисперсии ошибок оптимального фильтра

Дисперсионная матрица ошибок определяется путем решения дисперсионного уравнения

Уравнение (6.53) — это матричное нелинейное дифференциальное уравнение Риккати. Для его решения необходимо задать начальное значение дисперсионной матрицы. Если в начальный момент времени процесс на выходе фильтра равен нулю, то, как

видно из (6.52), соответствует матрице дисперсий компонент измеряемого процесса

Совокупность уравнений (6.50), (6.51) и (6.53) определяет структуру и характеристики фильтра Калмана.

Структурная схема многомерного фильтра Калмана, соответствующая уравнению (6.50), приведена на рис. 6.4.

Рис. 6.4

Пример 6.3. Рассмотрим синтез одномерного фильтра Калмана. Пусть задающее воздействие синтезируемой системы стационарный случайный процесс с дисперсией и спектральной плотностью

где круговая частота, определяющая ширину спектра (6.54);

Задающее воздействие поступает на вход системы в аддитивной смеси с помехой представляющей собой белый шум со спектральной плотностью и корреляционной функцией т. е. входное воздействие системы

Найдем уравнение состояния для задающего воздействия со спектральной плотностью (6.54). Разложив не комплексно-сопряженные множители, найдем передаточную функцию формирующего фильтра для задающего воздействия

откуда

или

В рассматриваемом случае входное воздействие имеет лишь одну составляющую и уравнение состояния в соответствии с (6.56) имеет вид

где и одномерный порождающий белый шум со спектральной плотностью и корреляционной функцией

Сопоставляя (6.56) и (6.55) с (6.46) и (6.48) и учитывая (6,47) и (6.49), имеем для одномерной задачи

Критерий оптимальности в гтом случае имеет вид

Теперь можно написать уравнения фильтра Калмана для рассматриваемой задачи:

уравнение оценки на основании (6.50)

выражение для коэффициента передачи из (6.51)

дисперсионное уравнение из (6.53)

Для одномерной задачи при стационарном входном воздействии дисперсионное уравнение является нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами.

Решив дисперсионное уравнение (6.60), найдем дисперсию ошибки одномерного фильтра Калмана и в соответствии с (6.59) определим коэффициент передачи этого фильтра, фигурирующий в уравнении оценки (6.58).

При изменении коэффициента передачи фильтра Калмана в соответствии с (6.59) выходная величина фильтра будет представлять собой оптимальную оценку задающего воздействия т. е. оценку с минимальной среднеквадратичной ошибкой.

Структурная схема одномерного фильтра Калмана, соответствующая (6.58), изображена на рис. 6.5.

Рассмотрим характеристики установившегося режима одномерного фильтра Калмана. Общие характеристики, соответствующие конечному времени наблюдения, приведены, например, в [2].

Рис. 6.5

В установившемся режиме, т. е. при дисперсия ошибки фильтра величина постоянная, не зависящая от следовательно, при

Тогда, обозначив из (6.60) получаем

откуда

при

В установившемся режиме при относительное значение среднеквадратичной ошибки

Как следует 1: (6.61), относительная среднеквадратичная ошибка оптимального одномерного фильтра при помехе типа белого шума зависит только от относительной интенсивности помехи, характеризуемой отношением спектральной плотности помехи к спектральной плотности порождающего белого шума.

В установившемся режиме коэффициент передачи фильтра Калмана имеет постоянное значение и тогда уравнение оценки (6.58) является уравнением с постоянными коэффициентами

или

соответствующим апериодическому звену первого порядка.