Глава 3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМАХ

§ 3.1. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ

Общие сведения о случайных процессах.

Большинство действующих на входе устройств и систем радиоавтоматики процессов являются случайными, лишь при определенных допущениях их можно считать регулярными или детерминированными. Математический аппарат исследования прохождения подобных сигналов через звенья и системы автоматического управления основывается на теории вероятностей и теории случайных процессов (функций).

Случайной функцией называют семейство случайных величин, зависящих от аргумента пробегающего произвольное множество [8]. Если аргумент интерпретировать как время, то вместо термина случайная функция употребляется термин случайный процесс (иногда говорят вероятностный или стохастический процесс).

Действительную функцию при фиксированном называют реализацией или траекторией случайного процесса. Если фиксировать то является обычной случайной величиной, — элемент пространства событий.

Примерами случайных процессов могут быть, например, измеряемые радиолокационной станцией координаты самолета, угол визирования движущегося объекта головкой самонаведения, помехи в системе телеуправления и т. д.

Типовые случайные процессы.

Рассмотрим спектральные и корреляционные характеристики некоторых случайных процессов, у которых т. е. центрированных процессов.

1. Белый шум. Под белым шумом понимают случайный процесс» имеющий одинаковое значение спектральной плотности на всех частотах при

Корреляционная функция белого шума имеет вид 00

Дроцесс, имеющий корреляционную функцию вида (3.1), является чисто случайным процессом, так как при любом отсутствует корреляция между последующими и предыдущими значениями случайной величины. Процесс с подобного рода спектральной плотностью является физически нереализуемым, так как ему соответствуют бесконечно большие дисперсия и средний квадрат случайной величины а следовательно, и бесконечно большая мощность.

Чтобы получить физически реальный процесс, вводят понятие белого шума с ограниченной спектральной плотностью (рис. 3.1, б):

где полоса частот для спектра шума.

Из (3.2) получаем корреляционную функцию

Рис. 3.1

Для этого процесса

2. Экспоненциально коррелированный процесс. Такой процесс имеет корреляционную функцию вида (рис. 3.1, в)

где дисперсия; коэффициент, определяющий ширину полосы частэт.

Корреляционной функции (3.3) соответствует спектральная плотность вида

Спектральную плотность иногда называют энергетическим спектром функции [5].

3. Типовой входной сигнал следящей системы. В качестве типового сигнала для следящей системы часто принимают график изменения угловой скорости на входе в соответствии с рис. 3.2. Скорость сохраняет постоянное значение в течение некоторых интервалов времени

Переход от одного значения к другому совершается мгновенно. Интервалы времени подчиняются закону распределения Пуассона.

В соответствии со сказанным будем считать, что математическое ожидание а средний квадрат скорости равен дисперсии:

График такого вида получается, например, в первом приближении при слежении радиолокатором за движущимся объектом. Постоянное значение скорости соответствует движению объекта по прямой. Перемена знака или значения скорости соответствует маневру объекта.

Рис. 3.2

Обозначим среднее число перемен скорости за 1 с. Тогда будет средним значением интервала времени, в течение которого угловая скорость сохраняет постоянное значение. Применительно к радиолокатору это значение будет средним временем движения объекта по прямой.

Для определения корреляционной функции необходимо найти среднее значение произведения

При нахождении этого произведения могут быть два случая.

1. Моменты времени относятся к одному интервалу. Тогда среднее значение произведения угловых скоростей будет равно среднему квадрату угловой скорости или дисперсии:

2. Моменты времени относятся к разным интервалам. Тогда среднее значение произведения скоростей будет равно нулю:

так как произведения с положительным и отрицательным знаками будут равновероятными.

Корреляционная функция

где вероятность нахождения моментов времени в одном интервале; вероятность нахождения их в разных интервалах.

Вероятность появления перемены скорости на малом промежутке времени пропорциональна этому промежутку и равна или Вероятность отсутствия перемены скорости для этого же промежутка равна Для интервала времени х вероятность отсутствия перемены скорости, т. е. вероятность нахождения моментов времени в одном интервале постоянной скорости, будет равна произведению вероятностей отсутствий перемены скорости на каждом элементарном промежутке так как эти события независимые. В результате для конечного промежутка получаем

Устремив и переходя к пределу, получим

и окончательно

Знак модуля при поставлен вследствие того, что выражение (3.5) должно соответствовать четной функции. Выражение для корреляционной функции совпадает с (3.5). Поэтому спектральная плотность рассматриваемого процесса должна совпадать с (3.4):

Графики корреляционной функции и спектральной плотности совпадают с изображенными на рис. 3.1, в. Формула спектральной плотности (3.6) записана для угловой скорости процесса (см. рис. 3.2). Если перейти от угловой скорости к углу, то получится нестационарный случайный процесс с дисперсией, стремящейся к бесконечности. Однако в большинстве случаев следящая система, на входе которой действует этот процесс, обладает астатизмом первого и более высоких порядков. Поэтому первый коэффициент ошибки следящей системы равен нулю. Это дает возможность использовать спектральную плотность (3.6) при расчете динамической ошибки следящей системы.

Недостатком формул (3.5) и (3.6) является также то, что подобная модель входного процесса приводит к бесконечной дисперсии углового ускорения, что определяется принятым мгновенным переходом от одной угловой скорости к другой (см. рис. 3.2).

Для более точного описания входного процесса принимают, что эти переходы совершаются не мгновенно, а по экспоненте с некоторой постоянной времени. Это показано на рис. 3.2 штриховой линией.

При такой модели входного процесса вместо выражений (3.5) и (3.6) получаются следующие зависимости:

где - среднее время, которое проходит от одной перемены скорости до другой; постоянная времени экспоненты, характеризующая инерционные свойства объекта.

Если перейти к угловому ускорению то для него

Здесь конечная дисперсия углового ускорения на входе.

4. Нерегулярная качка. В некоторых случаях угловые перемещения подвижного объекта, вызванные воздействием волнения при движении в водной среде или турбулентностью атмосферы при движении в воздушной среде, описываются гармонической функцией с известными амплитудой А и угловой частотой соответствующей собственной частоте колебаний объекта, и неизвестной начальной фазой лежащей в интервале

Для движения такого типа корреляционная функция имеет вид где дисперсия рассматриваемой координаты (например, угла наклона). Однако на самом деле рассматриваемое движение обычно отличается от гармонического (рис. 3.3, а). Для учета затухания корреляционной связи между последующими и предыдущими значениями рассматриваемой координаты вводят корреляционную функцию вида (рис. 3.3, б).

где пресбладекщая частота (близкая к собственной частоте колебания объекта); параметр затухания.

Для этой корреляционной функции спектральная плотность

Здесь

График спектральной плотности изображен на рис. 3.3, в.

Неудобством рассмотренной аппроксимации (3.9) является то, что этой формулой можно описать поведение какой-либо одной координаты — в данном случае угла наклона объекта. При этом дисперсия угловой скорости стремится к бесконечности. Для описания процесса, представляющего собой угловую скорость, можно применить формулу (3.9) непосредственно к этому процессу. Однако при этом дисперсия угла наклона будет стремиться к бесконечности

Рис. 3.3

Более удобно записать корреляционную функцию в виде

при этом спектральная плотность

спектральная плотность для первой производной рассматриваемой координаты

Ее интегрирование в бесконечных гределах дает конечную дисперсию угловой скорости: Однако дисперсия углового ускорения и здесь получается бесконечной. Чтобы получить конечное значение дисперсий первой и второй производных рассматриваемой координаты, требуется использование еще более сложных выражений для корреляционной функции.