§ 2.3. МЕТОДЫ ЗАДАНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТОЧНОСТИ

Требования к точности систем радиоавтоматики в установившемся режиме. Точность системы радиоавтоматики является важнейшим показателем качества. Чем выше точность системы, тем выше ее качество. Однако предъявление завышенных требований к точности при проектировании системы радиоавтоматики вызовет неоправданное удорожание системы, усложнение ее схемы и конструкции. Однако недостаточная точность может привести к несоответствию характеристик системы условиям ее функционирования и, в конечном счете, к необходимости проведения повторной разработки. Поэтому обоснование допустимой ошибки системы радиоавтоматики является одной из основных задач, решаемых на начальной стадии проектирования системы.

Допустимая ошибка системы радиоавтоматики может быть определена следующим образом. При проектировании системы радиоавтоматики задаются характеристики радиотехнической части системы, такие, как частота несущей, длительность и период следования зондирующих радиоимпульсов (при импульсном излучении), размеры

отракателя системы и т. д., на основании которых может быть определена нирина дискриминационной характеристики дискриминатора системы (см. рис. 1.42). Очевидно, что допустимая ошибка едоп проектируемой системы не может превышать полуширины дискриминационной характеристики. Таким образом, следует положить

Можно принять Как показывают расчеты, при таких значениях к получаются вполне приемлемые значения добротности системы для систем с астатизмом первого порядка) и в то время обеспечивается линейность режима работы системы.

Ошибки слежения в установившемся режиме. Как следует из (1.1), ошибка замкнутой автоматической системы зависит от зида задающего воздействия Поэтому при теоретическом исследовании точности автоматических систем оценку установившихся ошибок обычно производят для некоторых простейших функций времени, или типовых воздействий таких, как единичная ступенчатая функция гармоническая функция и т. д.

При анализе систем радиоавтоматики в качестве типового воздействия широко используют полиномиальную функцию

где — начальное значение задающего воздействия; начальная скорость изменений задающего воздействия; ускорение, с которым изменяется задающее воздействие.

Такая функция достаточно хорошо описывает движение объектов сопровождения.

При известном задающем воздействии ошибка системы где передаточная функция для ошибки по задающему воздействию (§ 1.4). Установившуюся ошибку еуст определим как . В соответствии с теоремой о конечном значении из свойств треобразования Лапласа имеем откуда следует, что установившемуся режиму системы в области изображений соответствует значение Поэтому при вычислении установившейся эшибки передаточную функцию для ошибки можно разложить в степенной ряд по степеням в окрестности точки т. е. представить в виде

Коэффициенты называют коэффициентами ошибок. Для изображения установившейся ошибки при этом получим выражение

и, переходя во временную область, находим

или

где составляющая установившейся ошибки системы по производной.

Таким образом, каждый коэффициент ошибки определяет значение составляющей ошибки по производной входного воздействия.

Использование полученного выражения наиболее удобно в случае, когда функция имеет конечное число отличных от нуля производных, т. е. когда полиномиальная функция, например, вида (2.23). В этом случае бесконечный ряд (2.27) превращается в полином, содержащий слагаемых.

Из (2.27) следует, что при полиномиальном задающем воздействии основная составляющая установившейся ошибки определяется коэффициентом ошибки с наименьшим индексом, т. е. коэффициентом если он отличен от нуля, коэффициентом при коэффициентом при

Можно показать, что для статической системы (т. е. для системы с астатизмом нулевого порядка) все коэффициенты ошибок отличны от нуля. При этом основную роль играет коэффициент ошибки так как при полиномиальном задающем воздействии этот коэффициент определяет наиболее быстро нарастающую во времени составляющую установившейся ошибки.

Для системы с астатизмом первого порядка основную роль играет коэффициент ошибки

Для системы с астатизмом второго порядка равны нулю первые два коэффициента ошибок и основным коэффициентом ошибки является коэффициент

Вообще, для астатической системы с астатизмом порядка обращаются в нуль первые коэффициентов ошибок, т. е. и первым отличным от нуля является коэффициент ошибки

Таким образом, зная коэффициенты ошибок исследуемой системы, можно в соответствии с (2.27) оценить установившуюся ошибку системы при известном задающем воздействии В частности, для полиномиального задающего воздействия установившаяся ошибка приближенно может быть определена как для статической системы, для системы с астатизмом первого порядка, Для системы с астатизмом второго порядка, для системы с астатизмом порядка.

Заметим, что определение коэффициентов ошибок путем дифференцирования передаточной функции для ошибки — процедура довольно

трудоемкая. Поскольку передаточная функция — всегда дробнорациональная функция переменной коэффициенты ошибок удобнее находить делением числителя передаточной функции для ошибки на ее шаменатель с последующим сравнением полученного ряда с рядом 2.24).

Ошибки типовых систем радиоавтоматики. Рассмотрим подробнее установившиеся ошибки систем с астатизмом нулевого, первого и второго порядков при задающем воздействии вида (2.23).

Для статической системы на основании изложенного имеем

где

Следовательно, установившаяся ошибка статической системы при полиномиальном входном воздействии вида (2.23) имеет три составляющие: постоянную ошибку ест, зависящую от начального значения входного воздействия; ошибку зависящую от начальной скорости входного воздействия и неограниченно возрастающую с течением времени, и ошибку еуск, зависящую от ускорения и неограниченно возрастающую пропорционально квадрату времени.

Постоянную ошибку ест, пропорциональную постоянной составляющей входного воздействия называют статизмом. Статизм — это ошибка, свойственная только статической системе. Как будет показано, эта ошибка отсутствует (равна нулю) у астатических систем (отсюда название: астатическая система; это система, у которой отсутствует статизм).

Для системы с астатизмом первого порядка

где

Таким образом, в астатической системе с астатизмом первого порядка статизм, т. е. ошибка, пропорциональная постоянной составляющей входного воздействия, равен нулю. Ошибка зависящая от начальной скорости изменений входного воздействия — величина постоянная, пропорциональная этой скорости и обратно пропорциональная добротности системы по скорости

Что же касается ошибки еуск, то она не имеет самостоятельного значения, поскольку скорость изменений всяких реальных величин всегда ограничена и, следовательно, задающее воздействие не может бесконечно долго изменяться с постоянным ускорением. Поскольку сумма представляет собой мгновенную скорость изменений входного воздействия, то установившаяся ошибка рассматриваемой системы может быть записана в виде

Для системы сопровождения по углу или по дальности движущихся объектов это означает, что если объект движется с постоянной скоростью или с постоянным ускорением, то установившаяся ошибка системы сопровождения пропорциональна скорости движения объекта. Эту ошибку называют скоростной ошибкой системы радиоавтоматики.

Для системы с астатизмом второго порядка

Следовательно, в астатической системе с астатизмом второго порядка обращаются в нуль статизм и скоростная ошибка. Установившаяся ошибка этой системы при полиномиальном задающем воздействии вида (2.23) постоянна и пропорциональна ускорению изменений входного воздействия и обратно пропорциональна добротности системы по ускорению

Полученные результаты позволяют выявить такое важнейшее свойство астатических систем, как память.

Рассмотрим для определенности систему с астатизмом второго порядка, передаточная функция которой

Здесь добротность системы по ускорению равная произведению коэффициентов передачи всех звеньев системы, формально представлена в виде трех сомножителей, где коэффициент передачи дискриминатора; произведение коэффициентов передачи всех остальных звеньев системы, включая первый интегратор; коэффициент передачи второго интегратора.

Рис. 2.13

В соответствии с (2.32) на рис. 2.13 изображена структурная, схема системы с астатизмом второго порядка.

Рассмотрим случай, когда задающее воздействие изменяется с постоянной скоростью, т. е.

Как было показано, для системы с астатизмом второго порядка установившаяся ошибка в этом случае равна нулю. Следовательно, выходное напряжение дискриминатора равно нулю, а управляемая величина в каждый момент времени равна задающему воздействию, т. е.

Поскольку управляемая величина как видно из рис. 2.13, является выходной величиной второго интегратора, то выходное

напряжение первого интегратора пропорционально производной от

Таким образом, при постоянной скорости изменения задающего воздействия напряжение на выходе первого интегратора в установившемся режиме пропорционально этой скорости. При этом напряжение на входе первого интегратора равно нулю. Другими словами, первый интегратор «запоминает» значение постоянной скорости V, с которой изменяется задающее воздействие.

Если теперь разомкнуть выходную цепь дискриминатора, то система этого «не заметит» и будет функционировать по-прежнему, т. е. управляемая величина будет изменяться по закону Эта означает, что система с астатизмом второго порядка в установившемся режиме отрабатывает задающее воздействие, изменяющееся с постоянной скоростью, не по рассогласованию, а по памяти.

Следовательно, астатическая система с астатизмом второго порядка обладает памятью по скорости или памятью по первой производной от задающего воздействия. Аналогично можно показать, что астатическая система с астатизмом порядка обладает памятью по производной входного воздействия

Значение свойства «памяти» астатических систем для систем радиоавтоматики состоит в следующем. Рассмотрим астатическую систему сопровождения движущихся объектов с астатизмом второго порядка, т. е. систему, обладающую памятью по скорости. Если объект движется с постоянной относительно пункта наблюдения скоростью, то сопровождение объекта осуществляется «по памяти». Пусть в некоторый момент времени на входе приемного устройства системы сопровождения появилась шумовая помеха настолько большой интенсивности, что коэффициент передачи дискриминатора упал до нуля (в § 1.6 при рассмотрении статистического эквивалента дискриминаторов указывалось, что коэффициент передачи дискриминатора падает с ростом интенсивности помехи). Это эквивалентно размыканию выходной цепи дискриминатора.

В статической системе или в системе с астатизмом первого порядка! это привело бы к нарушению процесса сопровождения и через некоторое время — к срыву слежения.

В системе же с астатизмом второго порядка процесс сопровождения не будет нарушен, так как ввиду наличия у системы памяти по скорости выходная величина системы будет продолжать изменяться с прежней скоростью (т. е. со скоростью, которая была до появления помехи). Следовательно, до тех пор, пока скорость объекта сопровождения будет оставаться неизменной, система будет сопровождать объект так же, как и в отсутствие помехи (в действительности, срыв слежения в момент исчезновения помехи может произойти в результате флуктуаций выходной величины обусловленных прохождением помехи через: систему сопровождения. Но это явление другого порядка).

Таким образом, увеличение порядка астатизма системы

радиоавтоматики является эффективным средством повышения помехоустойчивости этой системы.

Заметим также, что, как следует из (2.33), система автоматического сопровождения движущихся объектов с астатизмом второго порядка обеспечивает измерение не только текущих координат объекта, но и скорости его движения.

Установившаяся ошибка при гармоническом воздействии. В задачах анализа и синтеза систем радиоавтоматики широко используются частотные методы и, в частности, метод логарифмических частотных характеристик. В этом случае оказывается полезной оценка установившейся ошибки системы при гармоническом воздействии.

Запишем гармоническое задающее воздействие с частотой сок в комплексной форме: где комплексная амплитуда, учитывающая начальную фазу колебания Тогда установившаяся ошибка системы будет представлять собой также гармоническое колебание с амплитудой и частотой сок По аналогии с (1.32) для отношения комплексных амплитуд ошибки и задающего воздействия получим где частотная передаточная функция системы для ошибки по задающему воздействию.

Оценивая точность системы при гармоническом задающем воздействии по амплитуде ошибки, в соответствии с (1.37) получим

так как амплитуда ошибки должна быть значительно меньше амплитуды задающего воздействия, что возможно, как следует из приведенного выражения, лишь при

На основании (2.34) можно сформулировать требования к ЛАХ из условия, чтобы амплитуда ошибки не превышала заданного допустимого значения при заданной частоте сок задающего воздействия. Из (2.34) при получаем А (сооткуда находим условие для

Таким образом, для выполнения приведенного условия точности ЛАХ системы должна проходить не ниже контрольной точки с координатами как показано на рис. 2.14.

Рис. 2.14