§ 5.3. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ

Основы метода.

Исследование прохождения случайных сигналов через нелинейные звенья автоматических систем сопряжено со значительными трудностями и в большинстве случаев не может быть осуществлено точными теоретическими методами. Поэтому в основном для исследования подобных систем нужно использовать моделирование на ЭВМ.

Однако иногда требуется хотя бы ориентировочно оценить влияние нелинейных звеньев при теоретическом анализе системы. В этом случае приобретают значение приближенные методы. Одним из наиболее удобных является метод статистической линеаризации.

При его использовании предполагается, что случайные воздействия на автоматическую систему имеют нормальное распределение. После прохождения таких воздействий через нелинейные звенья нормальное распределение будет нарушаться. Однако для приближенной оценки точности системы, как и в случае линейных систем, можно и здесь воспользоваться двумя первыми вероятностными моментами — математическим ожиданием и дисперсией, что эквивалентно использованию корреляционной теории (или спектральных плотностей).

Рис. 5.12

Сущность статистической линеаризации заключается в том, что нелинейное звено заменяется эквивалентным, которое одинаково с исходным нелинейным звеном преобразует два первых вероятностных момента. При этом предполагается, что, как и в случае гармонической линеаризации, последующие линейные элементы, на которые поступает выходной сигнал нелинейного звена, обладают свойством фильтра и влияние неучитываемых высших вероятностных моментов будет ослаблено. Это и позволяет применить подобный метод для инженерных расчетов.

Разомкнутые системы.

ассмотрим разомкнутую цепь (рис. 5.12), состоящую из линейного звена с передаточной функцией на входе которого действует случайный сигнал и нелинейного звена Выходная величина связана со входной нелинейной зависимостью

Пусть входной сигнал представляет собой сумму математического ожидания являющегося регулярной функцией времени, и центрированного случайного стационарного процесса для которого известны корреляционная функция и спектральная плотность

Сигнал на выходе линейного звена представим также в виде суммы регулярной составляющей — математического ожидания и центрированного случайного процесса

Регулярная составляющая на выходе линейного звена определяется обычными методами расчета прохождения детерминированного сигнала через линейную систему

Для случайной составляющей на выходе линейного звена может быть определена корреляционная функция или спектральная плотность в соответствии с изложенным в гл. 3. Это дает возможность определить дисперсию выходной величины

Таким образом, на выходе линейного звена оказываются известными математическое ожидание и дисперсия

Величину на выходе нелинейного звена представим также в виде суммы регулярной составляющей (математического ожидания)

и случайной составляющей

Здесь введен эквивалентный коэффициент передачи нелинейного звена по случайной составляющей. При этом регулярную составляющую можно использовать непосредственно либо представить в виде произведения где эквивалентный коэффициент передачи регулярной составляющей. Для определения последнего коэффициента применимы различные методы линеаризации зависимости Статическая линеаризация дает а динамическая Последний случай совпадает с обычной линеаризацией, используемой в нелинейных системах и вытекающей из разложения вряд Тейлора.

Рис. 5.13

Регулярная составляющая может быть определена по формуле для математического ожидания. Для однозначной нелинейной функции

где — плотность вероятности.

Для нелинейности более общего вида: имеем

Последняя формула может быть, в частности, использована для определения математического ожидания в случае нелинейных петлеобразных характеристик. Так, для характеристики, изображенной на рис. 5.13, в случае симметричной функции распределения

Эквивалентный коэффициент передачи для случайной составляющей можно определить следующими способами.

Первый способ основан на использовании среднеквадратичных отклонений Коэффициент передачи находим по их отношению:

В случае однозначной нелинейности расчетная формула приобретает вид

В более общем случае, когда а также при наличии петлевых нелинейных характеристик формула (5.23) оказывается более сложной. Она может быть получена при использовании тех же обобщений, которые были сделаны при нахождении формул (5.20) и (5.21).

Второй способ предполагает определение эквивалентного коэффициента передачи из условия минимума математического ожидания квадрата разности истинного значения и ее заменяющегося значения (5.18). Это условие имеет вид

отсюда

здесь значение взаимной корреляционной функции переменных при

Если нелинейная зависимость имеет однозначный характер, то из (5.25) имеем

Эта формула также может быть распространена на случай, когда и на петлевые характеристики по аналогии с формулами (5.20) и (5.21).

Второй способ определения эквивалентного коэффициента передачи приводит к более простым формулам. С точки зрения точности оба метода примерно равноценны. В некоторых случаях первый метод дает завышенные значения для оценки корреляционной функции величины второй — заниженные. Поэтому существует рекомендация [4] использовать для расчета среднее значение двух эквивалентных коэффициентов передачи, определенных двумя способами.