Критерий устойчивости Михайлова.

Рассмотрим левую часть характеристического уравнения (1.12), которая представляет собой характеристический полином:

Подставив в этот полином получим характеристический комплекс:

где - модуль характеристического комплекса; аргумент характеристического комплекса.

Найдем полное приращение аргумента при изменении со от до для устойчивой и неустойчивой систем. Для простоты ограничимся случаем вещественных корней характеристического уравнения.

Представим характеристический полином в виде соответственно где корни характеристического уравнения.

Для устойчивой системы при вещественных корнях имеем Тогда и аргумент . Отсюда

Таким образом, полное приращение аргумента характеристического комплекса устойчивой системы при изменении от до составляет

Если же система неустойчива и среди корней характеристического уравнения этой системы имеется положительных корней, т. е. если то

и тогда откуда

Следовательно, полное приращение аргумента характеристического комплекса неустойчивой системы меньше чем

Аналогичный результат может быть получен и при наличии среди корней характеристического уравнения комплексно-сопряженных корней.

Сформулируем критерий устойчивости Михайлова. Характеристический полином (2.6) не будет иметь корней в правой полуплоскости, если полное приращение аргумента при изменении от до равно где степень полинома