§ 7.2. ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

Передаточные функции импульсных систем.

Большинство импульсных систем радиоавтомагики можно представить в виде замкнутого контура, показанного на рис. 7.1, где импульсный элемент

включен в канале ошибки непосредственно после элемента сравнения. Это соответствует импульсному режиму работы дискриминатора. Динамические свойства такой системы определяются ее приведенной непрерывной частью, которая изображена на рис. 7.5 как последовательное соединение формирующего элемента и непрерывной части с передаточной функцией При [рассмотрении выходной величины лишь в дискретные моменты времени приведенную непрерывную часть можно считать импульсным фильтром, основными характеристиками которого являются решетчатая весовая функция и дискретная передаточная функция Найдем эти характеристики.

Решетчатую весовую функцию приведенной непрерывной части определим как ее реакцию на единичную импульсную решетчатую функцию пока занную на рис. 7.6. Там же показан примерный вид вызванных подобным входным воздействием функций

Рис. 7.5

Рис. 7.6

Выходной сигнал формирующего элемента является одиночным импульсом, в случае АИМ-1 имеющим прямоугольную форму. В общем случае форма импульса может быть произвольной. Выходной сигнал непрерывной части — непрерывная функция, являющаяся реакцией непрерывной части на одиночный импульс Найдем ее по формуле свертки

где весовая функция непрерывной части, связанная с передаточной функцией обратным преобразованием Лапласа:

Решетчатая весовая функция получается в результате дискретизации во времени описываемого выражением (7.29) сигнала т.е.

Дискретную передаточную функцию приведенной непрерывной части найдем как -преобразование весовой функции или, в эквивалентной записи, где -изображение по Лапласу функции Учитывая, что в соответствии с (7.29) функция является сверткой функций ее изображение равно произведению изображений этих функций:

где изображение по Лапласу одиночного выходного импульса формирующего элемента.

Выражение (7.30) позволяет записать искомую дискретную передаточную функцию приведенной непрерывной части:

Фактически полученное выражение (7.31) дает дискретную передаточную функцию разомкнутого контура системы, обозначаемую через так как кроме приведенной непрерывной части в системе нет других динамических звеньев, а идеальный импульсный элемент производит лишь дискретизацию сигнала рассогласования, не изменяя его значений. Если работа импульсного элемента соответствует АИМ-1 и импульс является прямоугольным с единичной высотой и относительной деятельностью у, то для изображения получим

При в формуле (7.32) можно приближенно принять что дает или при подстановке в (7.31)

Формула (7.33) справедлива, если можно пренебречь влиянием конечной длительности импульса и считать короткие прямоугольные импульсы на выходе реального импульсного элемента эквивалентными по своему действию, на систему серии -функций. Для этого обычно достаточно, чтобы в непрерывной части системы содержалось апериодическое звено с постоянной времени, превышающей длительность импульса.

Если интересоваться значениями выходного сигнала в смещенные по отношению к тактовым точкам моменты времени то в формулах (7.31) и (7.33) следует перейти к модифицированному z-преобразованию. Тогда получим дискретную передаточную функцию

связывающую изображения выходной величины и ошибки соотношением

Здесь изображение ошибки взято при так как импульсный элемент реагирует на ошибку лишь в тактовых точках.

Пример 7.1. Найдем дискретную передаточную функцию разомкнутой системы для случая, когда импульсный элемент осуществляет а непрерывная часть имеет передаточную функцию

причем постоянная времени превышает длительность импульса

Воспользовавшись приближенной формулой (7.34), не учитывающей конечную длительность импульса, получим

где

При формула приобретает более простой вид:

Рассмотрим теперь замкнутую систему, считая ее импульсным фильтром со структурной схемой, показанной на рис. 7.7, где Переходя к изображениям, запишем или Решение последнего уравнения относительно дает

где

— дискретная передаточная функция замкнутой системы для ошибки.

Рис. 7.7

Подставляя (7.36) в (7.35), для изображения выходной величины получим

где

— дискретная передаточная функция замкнутой системы.

В частном случае, когда выражение (7.38) записывают в сокращенной форме где

Заметим, что изображение смещенных значений ошибки принципиально не может быть получено на основе аналогичного (7.38) выражения, в которое входило бы изображение только несмещенных значений задающего воздействия В отличие от выходной величины текущая ошибка зависит от закона непрерывного изменения задающего воздействия а не только от его значений при Поэтому передаточной функции Не не существует и для нахождения изображения смещенных значений ошибки следует использовать формулу

Из выражения (7.39) легко получить обратное по отношению к нему выражение

Таким образом, существует взаимно однозначная связь между дискретными передаточными функциями и Знание любой из них позволяет записать разностные уравнения для смещенных значений выходной величины или ошибки и дает полную информацию для исследования всех свойств линейной импульсной системы. Во многих практических случаях период дискретности достаточно мал для того, чтобы при исследовании можно было ограничиться рассмотрением процессов в системе лишь в тактовых точках Тогда следует принять использовать дискретные передаточные функции и

Построение переходных процессов.

При известной дискретной передаточной функции замкнутой импульсной системы (7.39) выражение (7.38) позволяет найти изображение выходной величины при произвольном входном воздействии с известным изображением Переход от изображения к оригиналу по таблице путем разложения в ряд Лорана или другими известными методами дает решетчатую функцию, соответствующую дискретным значениям переходного процесса. Наиболее простые выкладки получаются при Если значения выходной величины в тактовых точках не позволяют достаточно хорошо представить непрерывную функцию, описывающую реальный сигнал на выходе системы, то вычисления повторяют при или других дробных значениях относительного смещения. Получив дискретные отсчеты в достаточно большом числе точек и соединив их на графике плавной линией, можно построить кривую переходного процесса с необходимой точностью.

Переходный процесс можно построить и без нахождения -преобразования выходного воздействия путем непосредственного решения разностного уравнения, описывающего систему и взаимно однозначно связанного с дискретной передаточной функцией Рассмотрим его запись (7.1), произведенную при Аналитическое решение такого неоднородного разностного уравнения состоит из переходной и вынужденной составляющих выходной величины:

Переходная составляющая является общим решением однородного разностного уравнения, полученного приравниванием нулю правой части неоднородного уравнения. По аналогии с общим решением дифференциального уравнения ее записывают в виде

Здесь корни характеристического уравнения

левая часть которого — знаменатель дискретной передаточной функции замкнутой системы (7.39); постоянные", определяемые из начальных условий.

Однако на практике более удобно численное решение разностного уравнения, основанное на его записи в виде рекуррентного

соотношения

Формула (7.44) позволяет вычислить каждое последующее значение переходного процесса по его предыдущим значениям и значениям входного воздействия. Она хорошо машинизируется и используется при решении разностных уравнений на ЦВМ. Пусть, например, входное воздействие — единичная ступенчатая решетчатая функция

а начальные условия нулевые, т. е. Тогда значения переходного процесса составят

Аналогично производится численное решение при

Пример 7.2. Построим переходную характеристику замкнутой импульсной системы, рассмотренной в примере 7.1, при следующих значениях параметров: Тогда

Для дискретной передаточной функции замкнутой системы запишем выражение

где

Переход от дискретной передаточной функции к соответствующему разностному уравнению даст

При построении переходной характеристики следует принять

Полученная рекуррентная формула позволяет легко вычислить последовательные значения смещенной решетчатой функции при на универсальной ЦВМ или с помощью микрокалькулятора. Относительное смещение можно взять произвольным из интервала

При когда найденные в результате вычислений значения переходного процесса в тактовых точках показаны на рис. 7.8 светлыми кружками. Поскольку провести кривую лишь по этим дискретным значениям затруднительно, повторим вычисления при Тогда значения коэффициентов и изменятся и составят Найденные в результате вычислений значения переходного процесса в моменты времени показаны на рис. 7.8 темными кружками. Соединив плавной линией точки, помеченные светлыми и темными кружками, получим кривую переходного процесса являющуюся переходной характеристикой импульсной системы. Заметим, что ее не следует путать с решетчатой переходной характеристикой импульсного фильтра, определенной лишь в дискретные моменты времени.

Устойчивость импульсных систем.

Импульсная система устойчива, если переходный процесс в ней затухает с течением времени и переходная составляющая выходной величины, выражающаяся

формулой (7.42), удовлетворяет условию

Из (7.45) и (7.42) ясно, что для устойчивости линейной импульсной системы должно выполняться условие

т.е. все корни характеристического уравнения должны лежать внутри области устойчивости, имеющей вид круга единичного радиуса на комплексной плоскости

Рис. 7.8

Рис. 7.9

Она показана на рис. 7.9, а. Например, система с характеристическим уравнением первого порядка будет устойчива при

При характеристическом уравнении более высокого порядка непосредственное использовавие условия (7.46) затруднительно. Однако исследование устойчивости существенно упрощается, если перейти к -преобразованию, описываемому соотношениями (7.12)-(7.14).

Учитывая, что каждой точке окружности единичного радиуса в плоскости с определенными координатами и по вещественной и мнимой осям соответствует некоторая частота из интервала от нуля до Однако поскольку при изменении со в указанном интервале изображающая точка в плоскости движется по мнимой оси от нуля до и далее от к нулю, т. е. проходит вдоль всей мнимой оси. Поэтому окружность единичного радиуса, являющаяся границей области устойчивости в плоскости при переходе к -преобразованию отображается в мнимую ось плоскости Область устойчивости в плоскости лежит слева от мнимой оси, как показано на рис. 7.9, б, и совпадает по форме с областью устойчивости непрерывных систем, которая, напомним, лежит слева от мнимой оси плоскости

Это делает правомерным использование при исследовании устойчивости импульсных систем всех критериев устойчивости, разработанных применительно к непрерывным системам. Необходимо лишь перейти от переменной к переменной или, при использовании частотных критериев устойчивости, к псевдочастоте.

Пусть, например, система имеет характеристическое уравнение второго порядка

Посредством подстановки (7.13) оно преобразуется к виду

Теперь можно воспользоваться алгебраическим критерием устойчивости. Как следует из критерия Гурвица (см. § 2.2), необходимым и достаточным условием устойчивости системы второго порядка является положительность коэффициентов ее характеристического уравнения. Поэтому система с характеристическим уравнением (7.47) будет устойчива лишь при выполнении неравенств

Пример 7.3. Найдем условие устойчивости для системы, рассмотренной в примере 7.1. Она имеет характеристическое уравнение

или

Это уравнение совпадает с (7.47) при Поэтому с использованием -преобразования можно получить условие устойчивости в виде неравенств (7.48). Учитывая, что только первое из этих неравенств налагает существенное ограничение на параметры системы. Оно дает условие устойчивости

Оценка качества управления.

Показатели запаса устойчивости, быстродействия и точности импульсной системы, характеризующие качество ее работы, могут быть определены в результате построения кривой переходного процесса, а также посредством различных критериев качества.

При оценке запаса устойчивости особенно удобны частотные критерии. Например, склонность системы к колебаниям в переходном процессе можно оценить по значению показателя колебательности введенного в § 2.3 как высота наибольшего пика нормированной АЧХ замкнутой системы. Как и в случае непрерывных систем, получение заданного показателя колебательности сводится к выполнению требования, чтобы АФХ разомкнутой системы не заходила в запретную область, окружающую точку в соответствии с рис. 2.12. Крайняя правая точка этой запретной области лежит на расстоянии от оси ординат. При этом безразлично, построена ли АФХ в функции частоты или псевдочастоты

Пример 7.4. Пусть дискретная передаточная функция разомкнутого контура импульсной системы имеет вид

Выясним, как влияет величина на показатель колебательности замкнутой системы Для этого, выполнив подстановку перейдем к частотной передаточной функции

В координатах будет представлять собой вертикальную прямую линию, проходящую на расстоянии слева от оси ординат. Она показана на рис. 7.10. Там же штриховкой выделена запретная область по условию получения заданного показателя колебательности

Видно, что допустимое расположение АФХ соответствует неравенству

откуда

Для получения значения свидетельствующего о малой колебательности системы, должно выполняться условие Границе устойчивости системы соответствует величина обращающая неравенство в равенство при т. е. Это ясно также из критерия устойчивости Найквиста, поскольку при таком пройдет через точку с координатами .

АФХ импульсной системы имеет одну и ту же форму независимо от того, построена ли она в функции частоты или псевдочастоты X, однако логарифмические частотные характеристики целесообразно строить только в функции псевдочастоты. При этом методика оценки запаса устойчивости по ЛАХ разомкнутой системы и ее ЛФХ не отличается от используемой при исследовании непрерывных систем.

Рис. 7.10

Рис. 7.11

Удобным критерием является величина запаса устойчивости по фазе где псевдочастота среза, на которой или В системе с хорошим запасом устойчивости должно выполняться условие Заметим, что после нахождения псевдочастоты среза можно приближенно оценить также время переходного процесса в системе по формуле

Пример 7.5. Построим ЛАХ и ЛФХ для импульсной системы, рассмотренной в примере 7.4, и исследуем, как зависит ее запас устойчивости по фазе от значения

Используя формулу (7.16), перейдем от дискретной передаточной функции к частотной передаточной функции

откуда

Соответствующие ЛАХ и ЛФХ построены на рис. 7.11. Асимптотическая ЛАХ состоит из двух участков с наклонами — и нулевым. Прохождение точной ЛАХ, пересечение которой с осью абсцисс дает псевдочастоту среза, показано пунктирной линией. Из рисунка видно, что с увеличением когда ЛАХ будет перемещаться вверх, запас устойчивости по фазе будет монотонно уменьшаться от 90° до нуля. Нулевым он станет при когда точка излома асимптотической ЛАХ совпадает с осью абсцисс.

Для получения аналитической зависимости от запишем уравнение

откуда

При получим при

Установившаяся точность импульсной системы при задающем воздействии полиномиального вида может быть оценена по коэффициентам ошибок. Аналогично непрерывным системам, начиная с некоторого момента времени ошибку импульсной системы можно представить в виде ряда

где решетчатые функции, получающиеся в результате дискретизации во времени задающего воздействия и его производных. Коэффициенты ошибок представляют собой коэффициенты разложения дискретной передаточной функции по ошибке выражаемой формулой (7.37), в ряд Маклорена по степеням т. е.

Величины, обратные коэффициентам ряда (7.49), по аналогии с непрерывными системами называют соответствующими добротностями. Например, добротности по скорости и ускорению составляют

Установившуюся точность при задающем воздействии гармонического вида оценивают на основе формулы (7.10) при использовании частотной передаточной функции по ошибке.

Для амплитуды ошибки справедлива формула

Исследование точности управления при случайных воздействиях.

В качестве основного показателя точности импульсной системы при случайных воздействиях, рассматриваемых как решетчатые стационарные случайные процессы, обычно принимают средний квадрат значений ошибки в тактовых точках

Если ко входу системы приложены два воздействия — задающее и возмущающее причем взаимная корреляция между ними отсутствует, то, как и в непрерывных системах, средний квадрат результирующей ошибки является суммой двух составляющих:

Динамическая ошибка связана с тем, что высокочастотные спектральные составляющие задающего воздействия подавляются системой и на выход не проходят. Ее можно представить как результат пропускания решетчатой функции через импульсный фильтр с дискретной передаточной функцией определяемой формулой (7.37). При известной спектральной плотности задающего воздействия средний квадрат динамической ошибки с учетом (7.23) вычисляют по формуле

Ошибка от возмущающего воздействия объясняется прохождением на выход системы низкочастотных спектральных составляющих возмущающего воздействия. Средний квадрат этой ошибки при известной спектральной плотности возмущающего воздействия с учетом (7.23) и вычисляют по формуле

Часто спектральная плотность при малых значениях К изменяется настолько медленно, что ее можно считать равномерной в пределах полосы пропускания системы. Тогда формула (7.54) принимает вид

где

— эквивалентная полоса пропускания замкнутой импульсной системы для дискретного белого шума.

Формулы (7.52) — (7.56) позволяют вычислить средний квадрат результирующей ошибки и оценить точность системы. Входящие в них спектральные плотности решетчатых случайных процессов соответствующих дискретным значениям задающего и возмущающего воздействий, однозначно связаны со спектральными плотностями и корреляционными функциями исходных непрерывных процессов и могут быть выражены через эти характеристики.

Существенно, что если при анализе непрерывных систем радиоавтоматики непрерывное возмущающее воздействие обычно можно было считать белым шумом, то при анализе импульсных систем такая модель недопустима, так как она привела бы к бесконечно большому уровню спектральной плотности решетчатого процесса Поэтому необходимо учитывать конечную ширину спектра непрерывного возмущающего воздействия, приложенного ко входу импульсного элемента. Часто это воздействие считают экспоненциально-коррелированным шумом с корреляционной функцией и спектральной плотностью

Тогда и для спектральной плотности решетчатого процесса в соответствии с (7.18) можно записать

где

Перейдя в (7.58) к псевдочастоте по формуле (7.20), получим

где эквивалентная постоянная времени

Учитывая, что при а 1, из (7.59) и (7.60) для входящей в формулу (7.55) величины при найдем выражение