Синтез оптимальной физически реализуемой системы.

Синтез оптимальной системы с учетом условия физической реализуемости (1.22) — задача более сложная, чем синтез физически нереализуемой системы. Для решения этой задачи необходимо рассмотреть два вспомогательных вопроса: преобразование взаимных спектральных плотностей линейными системами и оптимизация структуры системы при входном воздействии типа белого шума. После решения этих вопросов определение оптимальной передаточной функции физически реализуемой системы осуществляется достаточно просто с использованием приема «приведения входного воздействия к белому шуму».

Рассмотрим преобразование спектральных плотностей. Пусть два стационарных и стационарно связанных случайных процесса с известной взаимно корреляционной функцией и взаимной спектральной плотностью Если процесс проходит через линейную динамическую систему

с передаточной функцией через систему с передаточной функцией то взаимная спектральная плотность процессов на выходе этих систем

В частности, если один из процессов, например не подвергается линейному преобразованию, то, полагая получим

Рассмотрим теперь синтез оптимальной системы при входном воздействии типа белого шума.

Пусть входное воздействие системы белый шум со спектральной плотностью и с корреляционной функцией где дельта-функция.

Обозначим через соответственно весовую и передаточную функции системы, оптимальной при гипотетическом входном воздействии в виде белого шума. Тогда уравнение Винера-Хопфа (6.12) примет вид откуда, используя фильтрующее свойство -функции (1.20а), получаем учитывая условие физической реализуемости системы (1.22), находим

Рис. 6.1

Таким образом, весовая функция системы, оптимальной при белом шуме на ее входе, с точностью до постоянного множителя равна взаимной корреляционной функции задающего воздействия и полного входного сигнала типа белого шума Оптимальную передаточную функцию можно найти путем прямого преобразования Фурье весовой функции. Учитывая, что при в соответствии с (6.18) имеем

где взаимная спектральная плотность процессов предполагаемая известной.

Для решения уравнения Винера — Хопфа при произвольном входном воздействии определяемом реальным задающим воздействием и реальной помехой воспользуемся методом приведения входного воздействия к белому шуму

Представим спектральную плотность входного воздействия в виде произведения двух комплексно-сопряженных функций

Такое представление спектральной плотности случайного процесса называют факторизацией спектра.

Гипотетическая динамическая система с передаточной функцией определяемой выражением (6.20), преобразует случайный процесс типа белого шума со спектральной плотностью в процесс с заданной спектральной плотностью и называется формирующим фильтром.

Пропустим входное воздействие через линейный фильтр с передаточной функцией

На выходе этого фильтра получим процесс, спектральная плотность которого равна (см. гл. 3)

т. е. получаем процесс в виде белого шума

Фильтр с передаточной функцией (6.21), где определяется выражением (6.20), называют отбеливающим фильтром, который преобразует случайный процесс со спектральной плотностью в белый шум.

Если последовательно с отбеливающим фильтром включить звено с передаточной функцией определяемой выражением (6.19), то получим систему, оптимальную для заданного входного воздействия передаточной функцией

В соотношении (6.19) передаточная функция выражается через взаимную спектральную плотность процессов но при произвольном входном воздействии известной является взаимная спектральная плотность процессов Поэтому необходимо выразить спектральную плотность черезспектральную плотность Тогда искомая Передаточная функция оптимальная для известных задающего воздействия и помехи будет определена.

В соответствии с обозначениями, принятыми при выводе формулы (6.17), в рассматриваемом случае следует положить:

непреобразуемый процесс; процесс, преобразуемый отбеливающим фильтром с передаточной функцией соответствующей передаточной функции белый шум на выходе отбеливающего фильтра. Тогда в соответствии с (6.17) имеем

Подставляя (6.23) в (6.22), с учетом (5.19) получаем выражение, определяющее оптимальную передаточную функцию Яопт системы при входном воздействии с заданными спектральными плотностями

Если задающее воздействие и помеха статистически независимы, то и тогда

Определить оптимальную передаточную функцию в соответствии с (6.25) довольно просто.

Если в (6.25), как следует из предыдущих рассуждений, нижний предел в первом интеграле положить равным то мы снова получим передаточную функцию (6.15) физически нереализуемой системы. Имея это в виду, представим (6.25) в виде

где

составляющая функции обусловливающая физическую нереализуемость системы с передаточной функцией (6.14). Чтобы выделить из функции физически реализуемую часть, поступим следующим образом. Разложим эту функцию на простейшие

дроби, т. е. представим в виде

где некоторый полином.

Первая сумма объединяет дроби, полюсы которых лежат в левой полуплоскости, а вторая сумма — дроби, полюсы которых лежат в правой полуплоскости. Именно вторая сумма и определяет функцию

Таким образом, оптимальная передаточная функция физически реализуемой системы

Запишем это выражение в виде

где оператор означает процедуру разложения на элементарные дроби функции, заключенной в квадратных скобках, и последующего отбрасывания дробей, полюсы которых лежат в правой полуплоскости.

Итак, процедура определения оптимальной передаточной функции физически реализуемой системы состоит из следующих этапов:

1) факторизация спектральной плотности , т. е. представление ее в виде

2) разложение функции на элементарные дроби и отбрасывание дробей с полюсами в правой полуплоскости;

3) запись явного выражения для оптимальной передаточной функции в виде (6.27).

В случае, когда помеха представляет собой белый шум со спектральной плотностью процедура нахождения оптимальной передаточной функции еще более упрощается.

Выражение для оптимальной передаточной функции, как показано, например, в [2], при этом имеет вид

Соответственно передаточная функция разомкнутого контура оптимальной системы

Дисперсия ошибки оптимальной системы определяется выражением (6.8) при подстановке в него

Пример 6.1. Рассмотрим синтез оптимальной структуры системы АСН. Пусть спектральная плотность задающего воздействия имеет вид

Такая спектральная плотность соответствует случайным изменениям текущих координат маневрирующего объекта. Пусть для определенности азимут объекта. Тогда в -дисперсия угловой скорости объекта в азимутальной плоскости; — среднее значение интервала времени, в течение которого эта скорость остается постоянной.

Помеха флуктуации направления прихода отраженных от объекта радиоимпульсов — в пределах полосы пропускания системы АСН имеет постоянную спектральную плотность и ее можно рассматривать как белый шум. Взаимная корреляция между задающим воздействием и помехой отсутствует. Тогда

где

Выделим множитель

В соответствии с (6.29) и (6.30) находим

где

При этом дисперсия ошибки оптимальной системы, найденная на основании подстановке найденной передаточной функции (6.32):

Для принятых в гл. 3 значений параметров входных сигналов из (6.34) получаем

Соответствующая ошибка, полученная в гл. 3 в задаче оптимизации параметров системы АСН, составила угл. мин.

Таким образом, в результате оптимального синтеза получена передаточная функция системы АСН, соответствующая вполне реализуемой структуре — последовательному соединению двух типовых динамических звеньев изодромного и апериодического первого порядка.