§ 2. Обзор простейших геометрических мест

Простейшие ГМТ на плоскости рассматриваются в школьном курсе геометрии. Перечислим важнейшие из них.

1. ГМТ (плоскости), находящихся на данном расстоянии от некоторой данной точки О (этой плоскости), есть по определению окружность радиуса с центром в точке О.

2. ГМТ (плоскости), равноудалённых от двух данных (в этой плоскости) точек, есть прямая, проходящая через середину отрезка, соединяющего данные точки, и перпендикулярная к этому отрезку (рис. 34).

Рис. 34.

Это ГМТ иногда называют симметралью или медиатрисой данных точек.

Построение этого ГМТ общеизвестно.

3. ГМТ (плоскости), находящихся на данном расстоянии от данной (в этой плоскости) прямой, есть пара прямых, параллельных данной прямой.

Для построения этого ГМТ надо в любой точке А данной прямой а провести к ней перпендикуляр отложить на нём по обе стороны от этой прямой данный отрезок и провести через концы отложенных отрезков прямые и 12, параллельные данной прямой а (рис. 35).

Рис. 35.

4. ГМТ (плоскости), равноудалённых от двух данных параллельных прямых (этой плоскости), есть прямая, параллельная данным прямым.

Для построения этого ГМТ проводят какую-либо прямую с, пересекающую данные прямые делят отрезок этой секущей, заключённый между данными прямыми, пополам и проводят искомую прямую через середину этого отрезка параллельно данным прямым (рис. 36). Полученную

прямую называют иногда средней линией данных параллельных прямых.

5. ГМТ (плоскости), равноудалённых от двух данных пересекающихся прямых (этой плоскости), представляет собой две взаимно перпендикулярные прямые, являющиеся биссектрисами углов, образованных данными прямыми (рис. 37).

Рис. 36.

Рис. 37.

Построение этого ГМТ сводится к элементарной задаче о делении данного угла пополам (гл. 1, § 5, задача 2). На рисунке 37 прямые образуют ГМТ, равноудалённых от прямых