§ 2. Построение отрезков, заданных простейшими формулами

В школьном курсе геометрии в разделе "Приложение алгебры к геометрии" на основании метрических соотношений в треугольнике и круге даются способы для построения циркулем и линейкой отрезков, заданных простейшими формулами. Напомним построение отрезков по основным формулам.

1. . Построение ясно из рисунка 170.

2. . Построение см. на рисунке 171,

3. , где натуральное число. Сводится к построению 1. На рисунке 172 построен отрезок х такой, что

Строим луч, выходящий из какого-либо конца О данного отрезка а под произвольным углом к нему.

Рис. 170.

Рис. 171.

Рис. 172.

Откладываем на этом луче раз произвольный отрезок так что (рис. 173). Соединяем точку В со вторым концом А отрезка а. Через точку определяемую условием проводим прямую, параллельную и отмечаем точку в которой она пересечёт отрезок а.

5. - данные натуральные числа).

Первый способ. Разделим отрезок а на равных частей (см. построение 4) и увеличим полученный отрезок в раз (см. построение 3).

Второй способ. Пусть . На произвольном луче, исходящем из точки О (рис. 174), откладываем отрезок и отрезок Через точку проводим отрезок параллельный ВА. Тогда

6. (построение отрезка, четвёртого пропорционального трём данным отрезкам).

Запишем условие в виде пропорции: Пусть (рис. 175) так что члены одного из отношений отложены на одном луче, исходящем из точки О.

Рис. 173.

Рис. 174.

На другом луче, исходящем из той же точки, откладываем известный член другого отношения

Рис. 175.

Через точку А проводим прямую, параллельную и отмечаем точку X её пересечения с прямой Отрезок искомый, т. е.

Первый способ. Воспользоваться построением 6, полагая

Второй способ (применимый, если а Строим (рис. 176) полуокружность с диаметром хорду , перпендикуляр к Тогда

8. (построение среднего пропорционального двух данных отрезков).

Рис. 176.

Рис. 177.

Первый способ. Строим отрезки так что На как на диаметре, строим полуокружность (рис. 177). В точке С восставляем перпендикуляр к и отмечаем точку его пересечения с окружностью. Тогда

Второй способ (для Строим окружность диаметром на откладываем отрезок (рис. 178).

Рис. 178.

Рис. 179.

В точке К восставляем перпендикуляр к и отмечаем точку X его пересечения с окружностью. Хорда

Третий способ (для Строим окружность диаметра (рис. 179), через центр проводим секущую и откладываем на ней внешнюю часть, равную Из полученной точки А проводим касательную

Отрезок х строится как гипотенуза Прямоугольного треугольника с катетами а к

Отрезок строится как катет прямоугольного треугольника с гипотенузой а и катетом (рис. 181).

Рис. 180.

Рис. 181.

К рассмотренным построениям можно свести построение отрезков, заданных более сложными формулами. Приведём Некоторые примеры.

Пример 1. , где натуральное число. Если где натуральные числа, то и задача сводится к построению В.

Если то и задача сводится к построению 9.

Аналогично, если то задача сводится к построению 10.

Пример 2. - натуральные числа

Можно записать: и поэтому задача сводится к построениям 5 и 8.

Пример 3.

Строим сначала формуле затем х по формуле - (см. постр. 6).

Пример 4. .

Строим выражение (см. постр. 7), а затем

Пример

Строим последовательно отрезки по формулам:

Пример 6.

Перепишем заданное выражение так:

Строим теперь отрезки по формулам: (см. пример 4), (см. пример 3).

Пример 7. .

Ясно, что Строим отрезки по формулам: (постр. 10), (постр. 9), (постр. 8).