§ 3. О построении корней кубического уравнения

Мы предполагаем рассмотреть ещё некоторые классические задачи на построение, алгебраическое решение которых ведёт к составлению кубических уравнений. Рассмотрим поэтому вопрос о построении корней кубического уравнения.

Чтобы получить основной для данного вопроса результат, необходимо остановиться на некоторых понятиях алгебры.

Как известно, числовым полем называют любое множество чисел, в котором результат каждого арифметического действия над любыми двумя числами этого множества (деление на нуль исключается) всегда принадлежит также данному множеству чисел. Одним из простейших примеров числового поля является множество рациональных чисел: сложение, вычитание, умножение и деление рациональных чисел всегда даёт рациональное число. Напротив, все целые числа не образуют поля, так как при делении двух целых чисел не всегда получается целое число. Для наших целей важно отметить ещё следующий пример.

Числа вида где и принимают всевозможные рациональные значения, образуют поле. И вообще, если какой-либо наперёд избранный фиксированный элемент данного числового поля то числа вида где любые элементы

поля образуют в свою очередь некотороё числовое поле. В этом можно убедиться непосредственной проверкой. Например, деление числа на число приводит к

где принадлежат как результаты арифметических действий над элементами этого поля. Ещё проще проверить, что сумма, разность и произведение двух чисел вида также дают число такого вида. После этого из определения следует, что числа вида действительно образуют поле.

Если данное поле, число, не принадлежащее полю то минимальное поле, содержащее называется расширением поля путём присоединения элемента и обозначается символом Поясним это понятие следующим примером. Пусть какое-либо числовое поле, элемент поля не принадлежит полю Поле должно содержать все числа принадлежащие полю и числа вида число, принадлежащее полю следовательно, оно должно содержать в себе поле состоящее из всех чисел вида Но это поле содержит в себе поле (чтобы в этом убедиться, достаточно избрать (положить Следовательно, расширение совпадает с полем т. е. расширение поля путём присоединения элемента представляет множество всех чисел вида где всевозможные элементы поля

После этих предварительных замечаний перейдём к доказательству следующей теоремы, которая служит основой для исследования некоторых классических конструктивных задач.

Теорема. Если какой-либо корень приведённого кубического уравнения с рациональными коэффициентами может быть построен посредством циркуля и линейки, то это уравнение обладает по крайней мере одним рациональным корнем.

Рассмотрим уравнение

где под и с мы будем понимать какие-либо рациональные числа. Заметим, что подстановка переводит данное уравнение в уравнение

где также рациональные числа, причём уравнения (1) и (2) одновременно имеют или не имеют рациональные корни и корни

этик уравнений одновременно могут или не Могут быть пострбёйы с помощью циркуля и линейки. Это позволяет ограничиться исследованием только более простого уравнения (2).

Пусть корень уравнения (2) может быть построен с помощью циркуля и линейки. Это означает (см. гл. VI, § 8), что число образуется из единицы посредством рациональных операций и операций извлечения квадратного корня, производимых в конечном числе. Число может само оказаться рациональным, и тогда теорема доказана. Если же выражается через 1 не только с помощью рациональных операций, но и с помощью операций извлечения квадратного корня, то можно построить поле, содержащее путём последовательного присоединения к полю рациональных чисел соответствующих квадратных радикалов, т. е. путём построения последовательных расширений поля рациональных чисел посредством присоединения квадратных радикалов. Если например, то пусть поле рациональных чисел, и тогда поле уже содержит число Если первое из последовательно образуемых полей расширения, содержащее число то, согласно сказанному в начале этого параграфа, число имеет вид где числа, принадлежащие предыдущему расширению

Подстановка найденного выражения в данное уравнение приводит к соотношению где

так чтобы оба числа принадлежали полю

Если положить то получим: Значит, а следовательно, и будут принадлежать полю что противоречит сделанному предположению, что первое из полей расширения, содержащих Следовательно, откуда в силу вытекает, что и

Непосредственная подстановка показывает, что при этом число также служит корнем данного уравнения. А так как по известному свойству корней алгебраического уравнения то третий корень данного уравнения значит, корень принадлежит полю

Таким образом, допуская, что один из корней данного уравнения, именно принадлежит полю мы пришли к выводу, что другой корень этого уравнения принадлежит полю Исходя из этого вывода, путём таких же рассуждений можно доказать, что некоторый корень данного уравнения принадлежит полю Повторяя такое рассуждение, мы придём к заключению, что некоторый из корней данного уравнения принадлежит полю т. е. является рациональным числом, что и требовалось доказать.