§ 9. Решение задач на построение методом алгебраического анализа

Сущность метода алгебраического анализа заключается в следующем. Решение задачи на построение сводят к построению некоторого отрезка (или нескольких отрезков). Величину искомого отрезка выражают через величины известных отрезков с помощью формулы. Затем строят искомый отрезок по полученной формуле.

Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. (Задача об удвоении квадрата.) Построить квадрат, площадь которого вдвое больше площади данного квадрата.

Обозначим сторону данного квадрата через а, а сторону искомого квадрата через х. Тогда

Строим теперь отрезок х по полученной формуле: гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом а. Построив отрезок х, легко затем построить искомый квадрат (рис. 192).

Рис. 192.

Рис. 193.

Пример 2. Из вершин данного треугольника, как из центров, описать три окружности, касающиеся попарно внешним образом.

Пусть (рис. 193) — данный треугольник, а, Ъ, с — его стороны, радиусы искомых окружностей. Выразим длины отрезков через длины известных отрезков Тогда Поэтому

откуда

Строим теперь один из найденных отрезков, например х, по формуле и проводим окружность

Две другие окружности проводим из центров В к С радиусами соответственно с

Для доказательства достаточно заметить теперь, что две последние окружности касаются между собой, так как сумма их радиусов

т. е. равна расстоянию между их центрами.

Задача всегда однозначно разрешима, так как 1) в треугольнике а и поэтому отрезок может быть построен; 2) потому что так как потому что

Пример 3. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе с и биссектрисе I прямого угла.

Анализ. Задача легко решится после того, как удастся определить высоту искомого треугольника, проведённую из вершины прямого угла. Из рисунка 194 видно, что

Рис. 194.

Остаётся исключить из этого соотношения два неизвестных катета Для этого нужно составить ещё два независимых уравнения, которым удовлетворяют эти катеты:

Отсюда: или

Из формулы (1) имеем:

Таким образом, искомая высота определяется из уравнения из которого находим единственное положительное решение:

Построение. Строим отрезок по формуле (5). На произвольной прямой откладываем отрезок На как на диаметре, строим окружность. Проводим пару прямых, параллельных на расстоянии от этой прямой (рис. 195). Отмечаем точку С пересечения этих прямых с окружностью. Треугольник искомый.

Рис. 195.

Доказательство вытекает из обратимости всех приведённых в анализе рассуждений.

Исследование. Перебирая последовательно шаги построения, замечаем, что последний шаг выполнйм тогда и только тогда, когда т. е. когда

После упрощения это условие принимает вид: Если то пара прямых и окружность пересекаются в четырёх точках, так что мы получим четыре треугольника, удовлетворяющих условию задачи. Однако они все равны. Поэтому задача имеет единственное решение. Если же I — то пара прямых касается окружности, и мы получаем два

равнобедренных прямоугольных треугольника, удовлетворяющих условию задачи. Эти треугольники также равны между собой, задача имеет единственное решение. Итак, приведённый способ всегда позволяет найти единственное решение задачи, если выполнено условие:

Читатель сам докажет, что два прямоугольных треугольника, имеющие равные гипотенузы и равные биссектрисы прямых углов, равны между собой. Поэтому других решений задача не имеет.