§ 6. Построение правильных многоугольников

В школьном курсе геометрии рассматривается построение правильных треугольников, квадратов, правильных шестиугольников и восьмиугольников. Иногда рассматривают также построение правильных пятиугольников (и вместе с этим десятиугольников), Метод построения меняется при этом

в зависимости от числа сторон. Естественно возникает вопрос об изыскании общего метода построения правильных многоугольников и об исследовании возможности построить правильный -угольник при том или ином значении .

Решение этого вопроса было связано с большими теоретическими трудностями. Однако проблема была полностью решена великим немецким математиком Гауссом (1777—1855) в 1796 г. Мы остановимся на этом вопросе лишь в главных чертах.

Понятно, что вопрос о возможности построения правильного -угольника равносилен вопросу о возможности деления окружности на равных частей: если окружность разделена на равных частей, то последовательное соединение точек деления приводит к построению правильного -угольника; обратно: если построен правильный -угольник, то легко определяется его центр, а следовательно, и центральный угол, соответствующий части дуги окружности.

Значительное упрощение вопроса о возможности построения правильного -угольника даёт следующая теорема.

Теорема. Если число разлагается на два взаимно простых множителя то возможность деления окружности на равных частей равносильна ввзможности деления окружности в отдельности на равных частей.

Ход рассуждения "в одну сторону" совершенно ясен: если окружность разделена на равных частей, то, группируя эти части по частей, получим точки деления окружности на частей, а группируя те же части по разделим окружность на равных частей.

Допустим теперь, что обратно: окружность может быть разделена как на так и на равных частей. Составим уравнение Такое уравнение, как известно, всегда разрешимо в целых числах (так как коэффициенты его взаимно простые). Пусть х и у — целые решения этого уравнения. Тогда так что и для получения части окружности достаточно из повторенной х раз её части вычесть повторенную у раз — ее часть. Например, чтобы разделить окружность на 15 равных частей, достаточно из удвоенной третьей части окружности вычесть утроенную 5-ю ее часть.

Из доказанной теоремы следует, что принципиальный интерес представляет только изучение тех случаев, когда есть простое число или степень простого числа.

Перейдём к алгебраическому представлению задачи деления окружности.

Как известно, каждому числу сопоставляется на декартовой координатной плоскости точка z с координатами Комплексное число z называют аффиксом точки Для краткости вместо построить точку (на данной декартовой координатной плоскости), аффиксом которой служит число (т. е. точку с координатами часто говорят: "построить точку или "построить число

Рис. 213.

Пусть дана окружность которую требуется разделить на равных частей (п—простое). Без потери общности можно положить, что Проведём через О две взаимно перпендикулярные оси которые примем за оси координат (рис. 213). Пусть положительный луч оси абсцисс пересекает окружность в точке так что эта точка имеет координаты (1; 0).

Задача деления окружности на равных частей состоит далее в том, чтобы построить точки т. е. чтобы построить отличные от единицы корни уравнения

Корни последнего уравнения, отличные от единицы, являются корнями уравнения которое называют уравнением деления окружности.

Заметим, что (при простом для построения всех вершин правильного вписанного -угольника достаточно построить какую-либо одну его вершину, отличную от Действительно, из алгебры известно (см. Курош, Курс высшей алгебры, гл. I, § 5), что путём последовательного возведения в степень любого первообразного корня из единицы можно получить все корни уравнения Геометрически это означает! что если (помимо

Построена какая-либо одна вершина то, откладывай последовательно по окружности дугу мы после шагов получим все остальные вершины.

Для дальнейшего полезно ещё следующее замечание.

Пусть Тогда Отсюда следует, что если можно построить циркулем и линейкой отрезок то можно построить и точку z, и наоборот. В самом деле, легко заметить, что

Согласно сделанному выше разъяснению, общий метод решения задачи о делении окружности на равных частей с помощью циркуля и линейки сводится к исследованию вопроса: можно ли построить какой-либо корень уравнения и если можно, то как? Рассмотрим некоторые примеры.

Пусть Уравнение деления окружности имеет в этом случае вид:

Выясним, может ли быть построен циркулем и линейкой какой-либо корень уравнения (1), например:

Тем самым будет решен вопрос о возможности деления окружности на 5 равных частей циркулем и линейкой. Положим

где под z понимаем число (2). Тогда

Так как число z удовлетворяет уравнению (1), то оно должно удовлетворять и уравнению

Так как то так что уравнение (5) можно представить в виде:

Это уравнение имеет один положительный и один отрицательный корень. В силу положительный корень уравнения Отрезок такой длины может быть построен циркулем и линейкой. Следовательно, можно построить и точку Таким образом, установлено, что циркулем и линейкой можно разделить окружность на 5 равных частей.

Пусть теперь Этот случай приводит к уравнению которое равносильно уравнению Положим Возведя это равенство почленно в квадрат и в куб, получим: и мы приходим к уравнению Нетрудно проверить, что это уравнение не имеет рациональных корней, так что отрезок не может быть построен циркулем и линейкой (см. § 3). Таким образом, устанавливается, что построение правильного -угольника с помощью циркуля и линейки не осуществимо.

В случае и задача опять сводится к построению отрезка

К построению этой величины можно подойти постепенно, отправляясь от соотношения;

Обозначим:

Из соотношения ясно, что другой стороны, исходя из того, что нетрудно установить, что Следовательно, и суть корни квадратного уравнения так что Корни эти легко могут быть построены (по абсолютной

беличине). Чтобы отличить один корень от другого, заметим, что

Это число заведомо отрицательно, так что

Располагая величинами и можно построить величины

Действительно, -так суть корни уравнения

и, следовательно,

Так как

то

Точно так же можно показать, что

Переходя к последнему шагу, обозначим

Тогда:

так что величины а, и с служат корнями уравнения

т. е.

И так как

то следовательно,

Считая, что уже построены, заметим, что циркуль и линейка позволяют теперь построить отрезок

Построение -угольника было выполнено различными способами ещё в прошлом веке. Описание этого построения можно найти в [1] и в [30].

Проводя аналогичные рассуждения в общем виде, Гаусс в 1796 г. доказал следующую теорему.

Построение правильного -угольника с помощью циркуля и линейки возможно в том и только в том случае, когда число может быть представлено в виде где различные простые числа вида

В частности, если простое число, то для того чтобы правильный -угольник можно было построить посредством циркуля и линейки, необходимо и достаточно, чтобы число имело вид

Мы не имеем возможности проследить здесь рассуждения, которые приводят к этому замечательному критерию. Доказательство теоремы Гаусса можно найти в [30].

Воспользуемся критерием Гаусса для выяснения возможности построения правильного -угольника ещё в некоторых конкретных случаях.

Формула при даёт Такой многоугольник может быть построен циркулем и линейкой, ибо 257 — простое число. Этому построению посвящена работа, появившаяся в 30-х годах прошлого века (Ришело).

При Это также простое число, и, следовательно, многоугольник с таким числом сторон может быть построен циркулем и линейкой. Такое построение действительно было выполнено немецким профессором Гермесом.

При Как заметил ещё Эйлер (по другому поводу), это число составное: оно делится на Простое число 641 не имеет вида и поэтому правильный -угольник с таким числом сторон не может быть построен циркулем и линейкой.

Как показал (в уральский математик-любитель Первушин, число также является составным.

Было также обнаружено, что число вида является составным при . До сих пор остаётся открытым вопрос: имеется ли среди чисел вида 2 1 конечное число простых чисел или таких чисел бесконечно много? Поэтому до сих пор неизвестно, сколько можно вписать в окружность данного радиуса неравных между собой правильных многоугольников с простым числом сторон — конечное число или бесконечно много.

Из теоремы Гаусса видно, в частности, что нельзя построить циркулем и линейкой правильный -угольник, так как простое число 7 нельзя представить в форме Для практических целей можно считать, что сторона правильного вписанного -угольника приблизительно равна половине стороны правильного вписанного в ту же окружность треугольника: , в то время как так что погрешность такого приближения не превышает 0,3%.

Невозможно построение циркулем и линейкой также правильного -угольника, ибо следовательно, не выполняется одно из условий теоремы Гаусса (все должны быть различны). После этого ясно, что нельзя также циркулем и линейкой построить угол в 1°, т. е. разделить окружность на 360 равных частей.

Метод Гаусса слишком сложен, конечно, для использования в школьном преподавании. Чтобы вооружить учащихся общим методом построения правильных -угольников, можно рекомендовать только какие-либо приближённые приёмы, которые обычно и употребляются в практике для

решения этой задачи. Приведём здесь один из таких приёмов.

Пусть данная окружность и АВ — её диаметр (рис. 214). Построим правильный треугольник и разделим диаметр точкой в отношении

Пусть продолжение отрезка пересекает окружность и) в точке тогда можно показать, что хорда представляет сторону правильного вписанного -угольника с точностью, допустимой во многих практических работах. При указанный способ даёт точное решение задачи. При погрешность построения не превышает 1%. С возрастанием числа погрешность приближения растёт, но остаётся меньше 10,3%. Относящиеся сюда вычисления читатель может найти в заметке Кордемского, помещённой в журнале "Математика в школе" (№ 1 за 1953 г.).

Рис. 214.

В тех случаях, когда задача построения правильного -угольника не может быть решена циркулем и линейкой, она может оказаться разрешимой иными средствами.

Так, например, правильный семиугольник может быть построен при наличии двух прямых углов.

Доказано (см. [33]), что при наличии линейки с двумя пометками может быть тогда и только тогда построен правильный -угольник, если имеет вид

причём -различные простые числа вида целые числа).

В частности, линейкой с двумя пометками может быть построен правильный -угольник при и др., но нельзя построить, например, правильный -угольник.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Укажите несколько задач на построение, не имеющих решений.

2. Перечислите известные вам задачи на построение, не разрешимые с помощью циркуля и линейки.

3. Докажите, что корни уравнения не могут быть построены циркулем и линейкой.

4. Докажите, что корни уравнения можно построить, пользуясь только циркулем и линейкой.

5. Напишите какое-либо уравнение 3-й степени с рациональными коэффициентами, корни которого не могут быть построены с помощью циркуля и линейки.

6. Напишите какое-либо уравнение 3-й степени с рациональными коэффициентами, корни которого могут быть построены с помощью циркуля и линейки.

7. Какие числа называются алгебраическими? Как называются остальные действительные числа?

8. Объясните, как из трансцендентности числа вытекает, что задача спрямления окружности не разрешима циркулем и линейкой.

9. Докажите, что задача о квадратуре круга равносильна задаче о спрямлении окружности.

10. Какие вам известны способы приближённого спрямления окружности?

11. Как читается теорема Гаусса о делении окружности?

12. Можно ли с помощью циркуля и линейки разделить окружность на 11, 12, 25, 100 равных частей?