§ 3. Разыскание геометрических мест

Часто встречается задача: найти ГМТ, обладающих таким-то свойством. Постановка этой задачи предполагает, что выделена некоторая совокупность "простейших" или "элементарных" фигур. Задача состоит в том, чтобы указать, какая из фигур этой совокупности представляет собой искомое геометрическое место.

Таким образом, для решения поставленной задачи необходимо располагать перечнем всех фигур, которые считаются уже известными, простейшими, элементарными. Этот перечень является условным. В условиях элементарной планиметрии естественно отнести к числу элементарных фигур прежде всего следующие фигуры: всю плоскость, точки, прямые, отрезки прямых, лучи, окружности, дуги окружностей.

Если какая-либо фигура является пересечением, соединением или разностью двух элементарных фигур, то мы также отнесём её к числу элементарных фигур. Если какая-либо элементарная

фигура разбивает плоскость на конечное число частей (областей), то каждую такую часть мы также считаем элементарной фигурой.

Этот перечень определяет класс элементарных фигур. К числу таких фигур относится, в частности, любая конечная совокупность точек, всякий многоугольник, круг, круговой сегмент, сектор, полоса между двумя параллельными прямыми, полуплоскость.

Точный смысл задачи о нахождении ГМТ, обладающих данным свойством, состоит в том, чтобы указать, какую именно элементарную фигуру представляет собой искомое геометрическое место точек.

Остановимся на методике решения этой задачи.

Решение задачи на нахождение ГМТ складывается обычно из анализа, доказательства и исследования, подобно тому, как это делается при решении геометрической задачи на построение.

Не следует, однако, смешивать нахождение ГМТ с его построением: первое само по себе не предполагает второго; иногда найденное ГМТ и не может быть построено с данным набором инструментов.

Цель анализа — прийти к некоторой гипотезе относительно того, чем является искомое ГМТ.

Анализ обычно начинают с того, что на чертеже изображают данную фигуру и рассматривают какую-либо точку, принадлежащую по предположению искомому ГМТ. Устанавливают некоторые связи этой точки с данными элементами, вытекающие из определения ГМТ и помогающие определить его форму и положение. Иногда анализу способствует рассмотрение какого-либо частного случая или же непосредственное построение нескольких точек, принадлежащих искомому геометрическому месту. В результате анализа мы приходим лишь к предположительному решению задачи, которое требует ещё обоснования, т. е. доказательства.

В ходе доказательства устанавливается справедливость двух взаимно обратных предложений: 1) что всякая точка найденной (в анализе) фигуры обладает характеристическим свойством точек искомого ГМТ и 2) что каждая точка, обладающая указанным характеристическим свойством, принадлежит найденной при анализе фигуре. Полезно иметь в виду, что доказательство предложения 2) может быть заменено доказательством следующего предложения 2): если какая-либо точка не принадлежит найденной фигуре, то она не обладает указанным характеристическим свойством.

Заметим, что одно из этих предложений часто устанавливается уже в ходе анализа.

Исследование заключается в рассмотрении различных случаев, которые могут представиться при решении задачи в зависимости от того или иного выбора данных.

Поясним сказанное примерами.

Пример 1. Найти ГМТ, из которых данный отрезок виден под данным углом.

Анализ. Пусть (рис. 38) — данный отрезок, а — данный угол.

Если точка искомого ГМТ, то по условию. В связи с этим условием естественно вспомнить теорему о равенстве вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу (см. [9], гл. 2, разд. V, п. 125).

Проведём окружность через три точки которые не лежат на одной прямой, если Тогда для всякой точки дуги этой окружности (кроме точек В также равен каждая точка этой дуги также принадлежит искомому ГМТ.

Рис. 38.

Кроме того, очевидно, все точки (кроме дуги симметричной с дугой относительно прямой обладают тем же свойством и поэтому принадлежат тому же ГМТ.

Доказательство. Чтобы доказать, что фигура составленная из двух симметричных дуг окружностей, проходящих через точки действительно представляет искомое ГМТ, осталось рассмотреть точки, не принадлежащие этой фигуре. Если точка лежит в области, ограниченной фигурой то, проведя луч (или до встречи с фигурой в точке заметим, что Если же избрать точку вне указанной области, то получим противоположный результат:

Итак, ГМТ, из которых данный отрезок виден под данным углом, представляет собой соединение двух дуг окружностей, проходящих через концы данного отрезка и

расположенных симметрично по отношению к этому отрезку. Точки не следует причислять к этому геометрическому месту, так как при совпадении точки с каким-либо концом отрезка угол становится неопределённым.

Исследование. Если угол а прямой, то фигура обращается в окружность с диаметром (без концов этого диаметра). Если угол а равен нулю, то искомым ГМТ является разность между прямой и отрезком Если угол а равен 180°, то искомое ГМТ - интервал

Построение фигуры по данному отрезку и углу а изложено, например, в [9], гл. 2, п. 132.

Пример 2. Найти геометрическое место середин хорд, отсекаемых данной окружностью на прямых, проходящих через данную точку.

Пусть данная окружность, О — её центр, А — данная точка (рис. 39).

Пусть середина какой-либо из рассматриваемых хорд, именно хорды

Соединим точки Тогда Таким образом, отрезок виден из точки под прямым углом.

Значит, точка принадлежит окружности, построенной на отрезке как на диаметре.

Рис. 39.

Кроме того, точка должна лежать внутри данной окружности. Мы приходим, таким образом, к следующему предположению: искомым геометрическим местом точек является расположенная внутри данной окружности часть окружности построенной на как на диаметре.

Для доказательства верности нашего предположения нужно показать, во-первых, что середина каждой из рассматриваемых хорд принадлежит указанной фигуре, во-вторых, что каждая точка принадлежащая указанной Части окружности является серединой одной из рассматриваемых хорд. Первое из этих предложений было уже доказано при анализе. Для доказательства второго предложения проведём через прямую (рис. 39). Она пересечёт окружность в двух точках, так как внутри

окружности. Обозначим эти точки через 5 и как вписанный, опирающийся на диаметр, т. е. так что середина хорды в силу теоремы: радиус, перпендикулярный к хорде, делит её пополам.

Перейдём к исследованию. Если точка А вне окружности о), то рассматриваемое геометрическое место — дуга окружности, имеющая концы на данной окружности и расположенная внутри данной окружности. Если же А внутри или на данной окружности, но не совпадает с её центром, то искомое ГМТ - окружность с диаметром Если А совпадает с центром данной окружности, то искомое ГМТ - сама точка А.

Пример 3. Найти ГМТ, для которых разность квадратов расстояний от двух данных точек есть величина постоянная.

Пусть Ищем геометрическое место таких точек для которых где с — данный отрезок.

Найдём сначала точки прямой обладающие данным свойством. Выберем на прямой положительное направление от А к В. После этого припишем каждому отрезку этой прямой определённый знак, как это обычно делается. Тогда при любом положении точки на прямой имеет место соотношение

По условию

т. е.

Рис. 40.

Таким образом, на прямой существует, и притом только одна, точка принадлежащая искомому ГМТ, т. е. такая, что

Положение этой точки определяется формулой

Попытаемся найти другие точки, принадлежащие искомому ГМТ. Замечаем, что всякая точка (рис. 40) на перпендикуляре к проходящем через точку также обладает указанным свойством. Действительно,

Так как при дальнейшем рассмотрении нам не удаётся обнаружить других точек, обладающих требуемым свойством, то приходим к предположению: искомым ГМТ является прямая перпендикулярная прямой и проходящая через найденную точку

Для доказательства справедливости высказанного предположения необходимо установить: 1) что всякая точка прямой обладает тем свойством, что это уже установлено в ходе анализа; 2) что точка, не принадлежащая прямой не обладает указанным свойством, т. е. для такой точки будет

Проведём через точку (рис. 40) прямую перпендикулярную к Тогда

Так как точка не принадлежит прямой то точка отлична от точки Но мы уже отметили, что точка является единственной точкой прямой принадлежащей искомому ГМТ. Следовательно, точка также расположенная на прямой не принадлежит этому ГМТ. Поэтому а значит,

Пример 4. Дан квадрат со стороной а. Найти ГМТ, для которых сумма расстояний от прямых и равна данному отрезку

Для каждой точки, лежащей внутри квадрата или на его стороне, сумма расстояний от прямых и очевидно, равна 2а. Нетрудно проверить, что для всякой точки, расположенной квадрата сумма расстояний от тех же прямых заведомо больше 2а.

Отсюда следует: 1) если 2а, то искомое ГМТ состоит из всех внутренних точек квадрата и точек его сторон; 2) если то искомое ГМТ не существует: на плоскости нет ни одной точки, сумма расстояний которой от прямых и была бы меньше 2а.

Остаётся рассмотреть случай 2а. Пусть

Для точки лежащей в пределах полосы, образуемой прямыми и как видно из рисунка 41, сумма расстояний от прямых и будет где расстояние точки от ближайшей к ней из сторон и Поэтому искомому геометрическому месту принадлежат те и только те из таких точек для которых т. е. точки отрезков и отсекающих на продолжениях сторон и отрезки, равные Аналогичное

положение имеет место в пределах полосы, образуемой прямыми и рассматривая эту область, мы получим отрезки изображённые на рисунке 41.

Остаётся найти точки искомого геометрического места, расположенные внутри углов Для примера рассмотрим угол Пусть - какая-нибудь точка внутри этого угла, её расстояния от прямых и Проведём через эту точку прямую образующую с прямой (следовательно, и с прямой угол в 45°. Тогда

так что сумма расстояний точки от четырёх данных прямых будет составлять Согласно принятым обозначениям, точка принадлежит искомому геометрическому месту в том и только в том случае, если

Рис. 41.

Рис. 42.

Таким образом, внутри угла искомому ГМТ принадлежат точки отрезка и только они, а всё искомое ГМТ представляет восьмиугольник

Интересные примеры ГМТ связаны с рассмотрением траекторий движущихся точек.

Пример 5. Равнобедренный прямоугольный треугольник (рис. 42) перемещается по плоскости так, что его вершины скользят по сторонам прямого угла а. Какую траекторию опишет точка когдд точка А опишет отрезок

Пусть начальное положение вершины т. е. в момент, когда А находится в С (рис. 43). Понятно, что лежит на биссектрисе угла

В том положении треугольника когда (рис. 44), его вершина также располагается на биссектрисе угла в некотором положении

Рис. 43.

Рис. 44.

Пусть теперь треугольник занимает произвольное из допустимых его положений (рис. 42).

Опустим из перпендикуляры и на и (рис. 42). Тогда как острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Кроме того, по условию. Отсюда следует, что и поэтому так что точка в произвольном своём положении лежит также на биссектрисе угла

Нетрудно показать, что . Действительно:

так что

И с другой стороны: при любом положении треугольника (см. рис. 42) так что откуда следует, что т. е. в то время как .

Итак, доказано, что при любом положении треугольника вершина его вдходится на отрезке

Обратно: если произвольная точка отрезка то существует такое положение при котором вершина совпадает с точкой Это можно доказать путём построения треугольника в соответствующем положении. Это ясно также и из механических соображений: точка перемещаясь по отрезку не может перейти из положения в положение не пройдя через каждое промежуточное положение

Таким образом, отрезок есть геометрическое место всевозможных положений вершины подвижного треугольника

Интересно заметить, что при перемещении точки А из положения С в положение О точка описывает отрезок дважды.