§ 2. Параллельный перенос

Пусть на плоскости задан некоторый вектор

Параллельным переносом фигуры на вектор называется такое преобразование фигуры при котором каждой точке этой фигуры ставится в соответствие такая точка плоскости, что выполняется условие: (см. рис. 78).

Очевидно, любая заданная пара соответственных точек вполне определяет перенос, так как если задана точка А и соответствующая ей точка А, то, по определению,

Рис. 78.

Перенос является движением, так как из того, что векторы и равны одному и тому же вектору , следует, что а отсюда вытекает равенство отрезков и Поэтому при переносе каждая фигура преобразуется в равную ей фигуру.

Для прямолинейных фигур построение их образов в данном переносе осуществляется по нескольким точкам. Для построения образа данной окружности строят образ её центра и, принимая его за центр, проводят окружность тем же радиусом.

Применение параллельного переноса для геометрических построений называют методом параллельного переноса. Сущность этого метода состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются некоторые другие фигуры, которые получаются из данных или искомых фигур или их частей путём переноса на некоторый вектор. Этим путём иногда удаётся облегчить проведение анализа. Метод параллельного переноса применяют главным образом для объединения разрозненных частей фигур. Особенно часто этим методом пользуются для построения многоугольников. Иногда метод переноса оказываемся полезным при решении задач на "кратчайший путь".

Пример 1. Построить трапецию по заданным её сторонам. Подробнее: требуется построить трапецию так, чтобы её основания были соответственно равны данным отрезкам а боковые стороны были соответственно равны двум данным отрезкам

Рис. 79.

Анализ. Допустим, что искомая трапеция, причём её большее основание, меньшее основание, и боковые стороны, причём

Представим себе перенос, определяемый вектором Тогда (см. рис. 79) сторона преобразуется в отрезок Треугольник может быть построен, так как все стороны его известны. Чтобы построить искомую трапецию, останется подвергнуть отрезок переносу на вектор длина которого известна и который направлен одинаково с вектором

Построение. 1) Построим треугольник по сторонам Через точку В проведём луч, одинаково направленный с лучом На этом луче построим точку С так, чтобы Через С проведём прямую параллельно до пересечения с продолжением в точке искомая трапеция.

Доказательство. по построению; как отрезки параллельных прямых между параллельными прямыми.

Исследование. Первый шаг выполним при условии!

При этом условии однозначно выполнимы и все остальные шаги построения. Заметим также, что треугольник а следовательно, и трапеция определяются условиями задачи однозначно до равенства. Поэтому при условии задача имеет единственное решение. Если же это условие не выполняется, то задача решения не имеет.

Пример 2. Построить выпуклый четырёхугольник, зная три его угла и две противоположные стороны.

Подробнее: даны два отрезка и три угла а, ( Требуется построить четырёхугольник так, чтобы Предполагается, что

Рис. 80.

Рис. 81.

Анализ. Допустим, что (рис. 80) — искомый четырёхугольник. Перенесём сторону на вектор и пусть отрезок займёт после переноса положение Тогда в известны:

По этим данным может быть построен.

Построение. 1) На произвольной прямой строим отрезок (рис. 81). 2) Через точку А проводим луч

под углом к лучу Откладываем на луче отрезок Строим луч образующий с угол и расположенный с точкой по разные стороны от прямой Строим луч так, чтобы С был равен 8 и чтобы луч располагался по ту же сторону прямой что и луч Отмечаем точку С пересечения лучей и третью вершину четырёхугольника. 7) Четвёртая вершина В получается в пересечении прямой параллельной с прямой параллельной

Доказательство.

как углы, стороны которых соответственно параллельны и противоположно направлены. по построению. по построению. Отрезок по построению. как отрезки параллельных между параллельными. Но а значит и

Исследование.

Так как сумма углов всякого четырёхугольника равна 360°, то для возможности построения необходимо, чтобы сумма данных углов и о была меньше 360°. Будем предполагать также, что в противном случае сумма двух других углов четырёхугольника будет больше 180°, так что разница сведётся только к изменению обозначений.

Рассмотрим сначала случай

При этом построение треугольника возможно. Угол который однозначно определяется, обозначим буквой Обозначим ещё через точку пересечения прямых и (рис. 81). Обращаясь к вышеприведённому построению, замечаем, что шаги 1—5 всегда выполнимы. Выполнение же шага 6 зависит от некоторых дальнейших предположений. Заметим, что

Рассмотрим три возможных предположения.

1) . При этом точка на отрезке (рис. 81).

Шаг 6 построения невозможен, если или если но возможен при условии Но при точка С совпадает с так что при выполнении шага 7 В совпадёт с и никакого четырёхугольника не получится. Задача получает единственное решение при условии

2) . При этом точка совпадает с точкой Если о X, то шаг 6 вовсе не выполнйм и задача решения не

имеет. Если же рис. 82), то лучи и О К имеют бесконечно много общих точек, так что задача получает бесконечно много решений.

Шаг 6 невыполним, если или если 6180° — а. Если же то невыполним шаг 7. Задача получит единственное решение при условии: 180° — (см. рис. 83).

Перейдём к рассмотрению случая, когда а В этом случае искомый четырёхугольник — трапеция (если а или параллелограмм (если Точка совпадает с точкой Возможны три случая расположения точки на луче

Рис. 82.

Рис. 83.

1-й случай. внутренняя точка отрезка Задача имеет единственное решение, если (рис. 84).

Рис. 84.

Рис. 85.

2-й случай. совпадает с Задача имеет бесконечно много решений, если если же то задача неразрешима.

3-й случай. на луче вне отрезка имеет единственное решение, если а Если же а то задача неразрешима.

Итак, возможны следующие случаи.

Решение существует, если:

Пример 3. Между пунктами течёт канал. Где следует выбрать место для моста, чтобы путь от А по В был кратчайшим?

Представим себе берега канала в виде двух параллельных прямых (рис. 86, а), а мост — в виде отрезка перпендикулярного к этим прямым.

Рис. 86.

Задача заключается в том, чтобы выбрать такое положение точки на прямой а (или точки на прямой чтобы ломаная имела наименьшую длину.

Так как длина отрезка постоянна, то условие задачи равносильно требованию, чтобы сумма отрезков и была наименьшей.

Чтобы связать отрезки и перенесём отрезок на вектор Тогда точка перейдёт в точку а точка некоторую точку В, которая легко может быть построена. Так как то нужно найти такое положение точки при котором ломаная концы которой известны, имела бы наименьшую длину. Ясно, что

это будет в случай, когда точки расположатся на одной прямой.

Построение показано на рисунке Проводим прямую перпендикулярно прямой а и откладываем на ней отрезок равный ширине канала.. Строим прямую Прямая пересекает прямую а в искомой точке

Задача всегда имеет решение, притом единственное.