§ 5. Преобразование прямой при инверсии

Мы уже видели, что при инверсии прямая, проходящая через центр инверсии, преобразуется сама в себя. Как обстоит дело с прямой, не проходящей через центр инверсии?

Теорема. При инверсии прямая, не проходящая через центр инверсии, преобразуется в окружность, проходящую через центр инверсии.

Пусть (рис. 147) — базисная окружность, а — данная прямая. Опустим из точки О перпендикуляр на прямую а. Пусть А — точка, инверсная точке А, а у — окружность, имеющая диаметром При инверсии

окружность преобразуется в прямую а (см. теорему § 3). В силу свойства взаимности (см. § 1, свойство 2) прямая а преобразуется в окружность

Рис. 147.

Эту теорему можно было доказать и непосредственно, без ссылки на теорему § 3.

Заметим, что по ходу доказательства мы выяснили способ построения окружности, инверсной данной прямой.