§ 3. Инверсия окружности, проходящей через центр инверсии

Пусть некоторая окружность проходит через центр инверсии — точку О. При инверсии все точки окружности у. за исключением точки О, преобразуются в какие-то другие точки. Какую фигуру образуют эти точки?

Рис. 144.

Теорема. При инверсии окружность, проходящая через центр инверсии, преобразуется в прямую. Эта прямая перпендикулярна к линии центров данной окружности и базисной окружности.

Доказательство. Пусть базисная окружность инверсии, данная окружность, проходящая через О. Проведём прямую Пусть она пересечёт окружность в точке А (рис. 144). Обозначим через А

точку, инверсную Точке А. Выберем На Окружности у произвольную точку и построим ей инверсную точку Соединим с с А. В силу леммы об антипараллельных прямых Но как опирающийся на диаметр окружности Поэтому также равен 90°, т. е. точка лежит на прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной к прямой 00. Обозначим прямую через а. Мы показали, что каждая точка окружности у преобразуется в точку прямой а. Нетрудно показать, что и обратно: каждая точка прямой с инверсна некоторой точке окружности у. Следовательно, окружность преобразуется при инверсии в прямую с, что и требовалось доказать.

Из рассмотренной теоремы вытекает способ построения прямой, инверсной данной окружности, если последняя проходит через центр инверсии: 1) строим прямую проходящую через центр инверсии и центр данной окружности; 2) отмечаем точку А пересечения этой прямой с данной окружностью ; 3) строим точку А, инверсную точке и 4) через точку проводим прямую а, перпендикулярную прямой Полученная прямая с искомая.

Рис. 145.

В том случае, когда базисная окружность пересекает данную окружность у, построение упрощается: прямой, инверсной окружности у, является прямая, определяемая двумя точками пересечения окружности у с базисной окружностью (рис. 145).

Если окружность касается базисной окружности то преобразуется в общую касательную этих окружностей.

Если две окружности касаются в центре инверсии, то они преобразуются при инверсии в пару параллельных прямых.