§ 5. Построения с недоступными точками

Общая теория геометрических построений с помощью Циркуля и линейки развивается обычно в предположении, что любые две точки плоскости можно соединить прямой, что можно провести окружность, центр которой находится в любой точке и радиус которой имеет любые размеры,

Что может быть построена и в дальнейшем использована точка, в которой пересекаются две построенные линии. В практических условиях эти предположения могут и не выполняться. В частности, этому могут препятствовать размеры чертежа, в силу чего некоторые элементы данных или искомых фигур могут оказаться за его пределами, как это в действительности нередко случается в чертёжной практике. При измерениях и построениях на местности не во всякую точку можно поместить геодезический инструмент и не всякий прямолинейный путь доступен для прохождения. В связи с этим обстоятельством возникла и развилась математическая теория геометрических построений с недоступными элементами.

Простейшие задачи на построения с недоступными элементами рассматривал ещё Ламберт в книге "Свободная перспектива" (1774).

Появление недоступных элементов существенно изменяет ход геометрических построений и обычно усложняет их. Однако можно доказать элементарными методами, что появление на плоскости нескольких недоступных точек не может перевести геометрическую задачу на построение циркулем и линейкой из класса разрешимых в класс неразрешимых. Основы такого доказательства изложены в [3].

Мы не ставим себе задачу дать полный очерк теории геометрических построений с недоступными элементами. Такая теория могла бы быть развита наиболее естественным образом на базе основных теорем проективной геометрии (свойства полного четырёхвершинника, теорема Дезарга, теорема Паппа — Паскаля, свойства поляр и др.). Ограничимся некоторыми разъяснениями и примерами.

Будем называть точку недоступной, если к ней нельзя применить аксиомы конструктивной геометрии, в частности аксиомы линейки или циркуля. Фигура считается недоступной, если все её точки недоступны. Недоступная точка считается известной, если построены отрезки двух прямых, пересекающихся в этой точке. На рисунке 234 точка определена двумя прямыми обозначим её

Рассмотрим некоторые элементарные геометрические задачи на построение с недоступными точками.

Задача 1. Через данную точку (рис. 235) провести прямую если известная недоступная точка. Проведём через какую-либо прямую, пересекающую

данные прямые соответственно в точках Проведём ещё какую-либо прямую, параллельную и пусть она встречается с соответственно в точках Пусть точка делит отрезок в том же отношении, в каком точка делит отрезок

Рис. 234.

Рис. 235.

Тогда прямая искомая

Задача 2. Разделить в данном отношении данные отрезки) отрезок один конец которого (например, В) недоступен.

Проведём какой-либо луч (рис. 236) и построим на нём Строим прямую (см. задачу 1) и проводим Тогда прямая пересекает прямую в искомой точке

Рис. 236.

Построение это можно провести и в том случае, когда оба конца данного отрезка недоступны: вне отрезка выбирается произвольная точка отрезок делится в данном отношении указанным способом, а затем повторяется вышеописанное построение.

Задача 3. Даны три точки и С, лежащие на одной прямой, причём точка С недоступна. Найти такие отрезки

тип, чтобы отношение было равно отношению

Пусть С — произвольная точка на прямой с, проходящей через недоступную точку С (рис. 237). Проводим Пусть прямая пересечёт в точке В. Тогда, понятно, искомое отношение

Рис. 237.

Рис. 238.

Задача две известные недоступные точки. Через данную точку провести прямую, параллельную прямой (рис. 238).

Построим прямую (см. задачу 1).

Пусть -произвольная точка прямой Определим отношение (см. задачу 3). Разделим отрезок точкой в таком же отношении (см. задачу 2). Тогда прямая искомая, так как В в силу наличия у этих треугольников общего угла С и пропорциональности сторон, заключающих этот угол.

Рис. 239.

К этой задаче легко сводится задача о проведении через данную точку перпендикуляра к прямой, проходящей через две известные недоступные точки.

Задача 5. Разделить пополам угол вершина которого недоступна.

Пусть (рис. 239) — произвольная точка на прямой Строим прямую а, проходящую через точку параллельно

прямой а. Из точки как из центра, проводим окружность произвольного радиуса. Пусть эта окружность пересекает прямые соответственно в точках — по разные стороны прямой а). Прямая наклонена к данным прямым под равными углами, так что если она пересекается с прямой а в точке А, то треугольник где О — вершина данного угла, равнобедренный. Поэтому искомая биссектриса должна проходить через середину отрезка перпендикулярно к прямой

Задача 6. На данной прямой а отложить от известной недоступной её -точки А отрезок, равный данному отрезку

Пусть (рис. 240) — вторая прямая, определяющая недоступную точку А. Выберем на прямой произвольную точку В и проведём через неё прямую

Рис. 240.

Строим прямую симметричную с а относительно и откладываем на этой прямой отрезок Если с — прямая, проведённая через точку С параллельно прямой то точка X, в которой эта прямая пересекает прямую а, искомая, т. е. В самом деле, трапеция равнобедренная, так как углы при её основании одинаковы.

Комбинируя рассмотренные примеры, можно решить большое количество задач на построение с недоступными элементами.

В качестве общего приёма решения задач на построение с недоступными точками можно пользоваться геометрическими преобразованиями. Если данное преобразование не переводит данную недоступную точку в себя, то её образ вообще говоря, доступен. Поэтому после преобразования

задача решается обычными методами. После того как получено соответствующее решение, остаётся применить обратное преобразование, чтобы получить решение для первоначального расположения фигуры.

Пример 1. - две недоступные точки. Построить середину отрезка

Применим метод симметрии.

Пусть (рис. 241) - произвольная прямая, которую примем за ось симметрии.

Строим прямые соответственно симметричные прямым относительно прямой Пусть Строим середину отрезка точку С. Точка С, симметричная С относительно искомая, так как равенство отрезков при симметрии сохраняется, причём дважды повторенная симметрия есть тождественное преобразование.

Рис. 241.

Рис. 242.

Иногда надобность в обратном преобразовании отпадает, как это видно из следующего примера.

Пример 2. Через данную недоступную точку провести прямую, параллельную данной прямой

Произведём параллельный перенос данной фигуры на некоторый вектор V, коллинеарный прямой Прямые преобразуются при этом соответственно в прямые Пусть (рис. 242) Прямая, проведённая через А параллельно искомая.

Так как в чертёжной практике всегда приходится иметь дело не со всей плоскостью, а лишь с ограниченной её областью (чертёжный лист), то здесь нередко возникают задачи о "построениях на ограниченном куске плоскости", когда всю остальную часть плоскости приходится рассматривать

как недоступную. В этих случаях особенно полезным оказывается преобразование гомотетии, так как оно позволяет "сжать" весь чертёж в произвольном отношении. При соответствующем выборе центра и коэффициента гомотетии можно добиться, чтобы после такого преобразования все, как угодно далёкие, недоступные точки плоскости преобразовались в точки, расположенные в пределах данного куска плоскости.