§ 4. Вращение около точки

Пусть в плоскости даны точка О и ориентированный угол а. Каждой точке данной плоскости будем ставить в соответствие такую точку чтобы 1) (рис. 94). Такого рода соответствие называется вращением плоскости около точки О на угол а. Точка О называется центром вращения, угол а — углом поворота.

Рис. 94.

Вращение является движением. В самом деле, если -центр вращения, а — угол поворота, и две пары соответственных точек, то, по определению, Кроме того (рис. 95), Поэтому следовательно,

Таким образом, вращение переводит всякую фигуру в равную ей фигуру.

Чтобы построить образ некоторой прямой, достаточно избрать на ней какие-либо две точки, построить их образы и соединить их прямой.

Можно также опустить из центра вращения перпендикуляр на данную прямую осуществить его поворот на данный угол и провести затем через точку (в которую перейдёт точка прямую перпендикулярную к (рис. 96).

Рис. 95.

Рис. 96.

Чтобы построить образ окружности, надо построить образ её центра и, приняв его за центр, провести окружность тем же радиусом.

Построение образа данного многоугольника сводится к повороту его вершин.

Помимо задания вращения посредством центра вращения и угла поворота, следует отметить способ его задания двумя парами соответственных точек. Имеет место следующая теорема.

Теорема. Если два отрезка и равны, а векторы и не равны, то существует вращение, переводящее точку А в точку А и точку точку В (следовательно, отрезок в отрезок

Доказательство. Будем предполагать сначала, что так что прямые и пересекаются.

Будем искать центр вращения как точку, равноудалённую от и в то же время равноудалённую от Такая точка должна быть общей для симметрали а точек и симметралн точек Могут представиться два случая.

1) Прямые и пересекаются (рис. 97). Тогда прямые тоже пересекаются. Пусть Тогда

Рис. 97.

Нетрудно убедиться, что В самом деле, по трём сторонам. Отсюда следует, что а так как и то

Рис. 98а.

Рис. 98б.

После этого ясно, что при повороте около точки О на отрезок займёт положение (рис. 98 а и 98 б).

Пусть Ясно, что Поэтому

Таким образом, так что треугольники равнобедренные.

Рис. 99а.

Но тогда прямые проходят через О, и так как и то Очевидно также, что Поэтому при повороте вокруг точкк О на угол точка А перейдёт в точку А, а точка В — в точку

Обратимся теперь к нерассмотренным нами случаям. Если то при повороте вокруг А на угол отрезок преобразуется в отрезок Аналогично будет, если

Рис. 99б.

Если (рис. 99а и 99 б), то доказательство лишь упрощается: при повороте на 180° около середины О отрезка Доказательство опустим.

Если то вращения, переводящего одновременно и нет. В этом случае существует параллельный перенос, осуществляющий такое преобразование.

Итак, любое движение отрезка в плоскости можно осуществить посредством вращения или параллельного переноса.

Вращением пользуются как методом решения геометрических задач на построение. Идея метода вращения состоит в том, чтобы повернуть какую-либо данную или искомую фигуру около целесообразно избранного центра на соответствующий угол так, чтобы облегчить проведение анализа задачи или даже непосредственно прийти к решению. Поясним этот приём несколькими примерами.

Пример 1. Построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.

Пусть (рис. 100) - искомый треугольнике, данные его стороны, данная медиана.

Повернув всю фигуру около точки на 180°, получим параллелограмм которого известны стороны и одна из диагоналей Это подсказывает следующий ход построения: строится (по трем сторонам)треугольник АСС и дополняется до параллелограмма соединив точки получим искомый треугольник

Построение треугольника а следовательно и искомого треугольника, возможно при условии — При наличии этих условий решение единственное.

Пример 2. Даны: точка О и прямые не проходящие через неё. Из точки О, как из центра, провести такую окружность, чтобы дуга её, заключённая между данными прямыми, была видна из точки О под данным острым углом а.

Анализ. Допустим, что задача решена, искомая окружность, концы дуги, заключённой между данными прямыми, (рис. 101).

Рис. 100.

Рис. 101.

Если осуществить поворот прямой а около точки О на угол а, то точка А попадёт в точку В. Следовательно, точка В может быть найдена как пересечение образа прямой а с прямой После этого легко строится искомая окружность.

Построение. Повернём прямую а около точки О на угол а. Пусть она займёт после поворота положение а (рис. 102). Строим общую точку В прямых Окружность искомая.

Доказательство. Допустим ради определённости, что при построении поворот прямой а производился в направлении движения часовой стрелки. Повернём точку В около центра О на угол а в направлении, обратном направлению движения часовой стрелки. Тогда прямая а займёт положение с, а точка В займёт некоторое положение А на прямой а.

Рис. 102.

Ясно, что и поэтому окружность действительно удовлетворяет условию задачи.

Исследование. Так как условием задачи направление вращения не предусмотрено, то прямую а можно повернуть около точки О на угол а как по часовой стрелке, так и в противоположном направлении. Поэтому прямая может занять после поворота два различных, положения: Так как угол а, по условию, острый, то а не параллельна (угол между ними 2а). Возможны следующие случаи: 1) пересекают задача имеет два решения; 2) а (или параллельна одно решение; 3) а (или совпадает с решений бесконечно много.

Пример 3. Построить квадрат так, чтобы три его вершины лежали на трёх данных параллельных прямых

Пусть искомый квадрат (рис. 103), причём При повороте вокруг точки на 90°

точка совпадёт с а прямая с преобразуется в прямую с, проходящую через так что Построив отрезок (сторону квадрата), легко построим затем и весь квадрат.

Рис. 103.

Выбирая точку на различных прямых, получим три неравных квадрата (рис. 104).

Рис. 104.

Исключение составляет тот случай, когда одна из данных прямых равноудалена от двух других: в этом случае квадраты рисунка 104 оказываются равными.

Эта задача имеет бесконечно много решений, которые можно получить, меняя положение точки на прямых Каждый из квадратов, которые могут быть получены таким путём, будет равен одному из квадратов

Вращение на 180° часто рассматривают как особый вид преобразования. Если О — центр вращения, то каждая точка плоскости преобразуется при этом в такую точку что точки располагаются на прямой, проходящей через точку О, и находятся по разные стороны от точки О на одинаковых от неё расстояниях (рис. 105).

Рис. 105.

Такое преобразование называется центральной симметрией относительно точки О. Ясно, что центральная симметрия определяется заданием центра или одной пары соответственных точек.

Пример 4. Земельный участок квадратной формы был огорожен. От изгороди сохранились два столба на параллельных сторонах квадрата. Кроме того, остался столб в центре квадрата. Требуется восстановить границу участка.

Рис. 106.

Анализ. Пусть искомый квадрат, О — его центр, данные точки соответственно на сторонах и (рис. 106).

Если повернуть квадрат на 180° около его центра О, то точка займёт некоторое положение на стороне а точка некоторое положение на После этого нетрудно уже восстановить искомый квадрат.

Построение. 1) Строим точку симметричную относительно О, и точку симметричную относительно О. 2) Строим прямые и Повернём

построенные прямые около точки О на 90°. Четыре построенные прямые ограничивают искомый квадрат.

Доказательство опускаем.

Исследование. По смыслу задачи невозможен случай, когда точки располагаются с точкой О на одной прямой, но не симметричны относительно О. Если точки симметричны относительно О, то задача становится неопределённой. В остальных случаях задача имеет единственное решение.