§ 5. Задача о трисекции угла

Задача о трисекции угла состоит в том, чтобы разделить данный угол на три равные части.

Ограничимся решением задачи для углов, не превышающих 90°. Если а — тупой угол, то где о, 8 так что и поэтому задача о трисекции тупого угла а сводится к задаче о трисекции острого угла

Заметим, что (при наличии единичного отрезка) задача о построении угла со равносильна задаче о построении отрезка В самом деле, если угол со построен, то построение отрезка сводится к построению прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу (см. рис. 205). Обратно, если построен отрезок х, то построение такого угла что сводится к построению прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету.

Пусть а — данный угол, искомый угол, так что Тогда Поэтому, полагая приходим к уравнению: Отрезок а следовательно, и угол со могут быть построены лишь в том случае (см. § 3), когда это уравнение имеет хотя бы один рациональный корень. Но это имеет место не при всяком а, и поэтому задача о делении угла на три равные части, вообще говоря, не разрешима с помощью циркуля и линейки. Например, при а получим и найденное уравнение принимает вид: Легко проверить, что это уравнение не обладает никаким рациональным корнем, откуда следует невозможность деления угла в 60° на три равные части с помощью циркуля и линейки.

Рис. 205.

Таким образом, задача о трисекции угла не разрешима циркулем и линейкой в общем виде. Необходимо отметить, что она может быть решена этими инструментами в некоторых частных случаях. Широко известно, например, деление на три равные части прямого угла. Предыдущие рассуждения приводят в этом случае к уравнению которое имеет корни 0, и —1/3. Практически построение сводится в этом случае к делению на три равные части заключённой между сторонами прямого угла дуги окружности с центром в вершине прямого угла. Это достигается путём откладывания на дуге части окружности от каждого конца дуги.

После этого легко заметить, что трисекция возможна при натуральное). Задача о трисекции оказывается разрешимой и при некоторых других частных значениях угла а.

Достаточно небольшого усиления конструктивных возт можностей циркуля и линейки, чтобы трисекция любого угла стала уже выполнимой. Деление произвольного угла на три равные части может быть произведено при помощи циркуля и линейки с двумя отметками. При этом к основным построениям, осуществляемым с помощью циркуля и линейки,

присоединяется еще одно основное построение: через данную точку провести прямую так, чтобы её отрезок между двумя построенными линиями был равен расстоянию между отметками на линейке (если такая прямая вообще существует). Практически эта операция осуществляется путём перемещения одной из отметок, например А (рис. 206), по одной из данных линий (на рисунке по до тех пор, пока вторая отметка В попадёт на вторую линию причём линейка всё время остаётся проходящей через данную точку

Рис. 206.

Рис. 207.

Трисекция угла с помощью циркуля и линейки с двумя отметками производится следующим образом. Пусть а — данный угол (рис. 207). Опишем из вершины угла окружность радиуса где расстояние между отметками на линейке. Пусть точка пересения проведённой окружности с одной из сторон угла а. Проведём через точку прямую так, чтобы отрезок её между второй точкой её пересечения с окружностью и точкой пересечения с продолжением второй стороны угла а был равен Обозначая угол через и исходя из свойства углов равнобедренного треугольника и из свойства внешнего угла треугольника, мы без труда заметим, что Таким образом, угол представляет данного угла а. Этот способ построения приписывается Архимеду.

Существуют приборы, позволяющие выполнять трисекцию угла. Такие приборы называются трисекторами. Один из них изображён на рисунке 208. Он представляет соединение двух шарнирных ромбов и Вершина С может скользить по стержню а вершина стержню Чтобы данный угол разделить на три равные части, помещают точку А в вершину угла О и направляют сторону ромба стороне угла а сторону ромба

стороне угла После этого диагонали ромбов и разделят угол на три равные части.

Значительно проще для изготовления трисектор, изображённый на рисунке 209.

Рис. 208.

Рис. 209.

Он состоит из полуокружности стержня касательного к ней в конце диаметра и стержня продолжающего диаметр за касательную на отрезок, равный радиусу окружности.

Из рисунка 210 видно, что для деления угла В на три равные части достаточно поместить прибор так, чтобы касательная прошла через вершину угла О, окружность коснулась одной из сторон а конец стержня попал на другую сторону При этом касательная отделит данного угла, считая от стороны

В чертёжной практике трисекция малых углов осуществляется приближённо так: проводят окружность из вершины данного угла, как из центра, делят на три равные части хорду, стягивающую дугу этой окружности, заключённую между сторонами угла, и проводят радиусы через точки деления (см. рис. 211). Этот приём основан на том, что для малых центральных углов соответствующая дуга мало отличается от стягивающей её хорды. Этот способ очень прост, но не всегда даёт удовлетворительный результат.

В разное время было предложено много различных способов приближённой трисекции угла.

Хорошее приближение можно получить, например, по способу, предложенному ещё в начале XVI в, знаменитым немецким художником Альбрехтом Дюрером (1471-1528).

На рисунке 212 показано приближённое деление дуги на три равные части по способу Дюрера. Здесь

Рис. 210.

Рис. 211.

Тогда Для острых углов ошибка не превосходит

Интересный способ приближённой трисекции угла предложен Шрубко в его работе "Трисекция угла

Рис. 212.

("Известия Академии наук Казахской ССР", № 115. Серия геологии, вып. 12, 1952, стр. 99—103). Предложенный им способ даёт возможность последовательно улучшать полученные приближения и произвести трисекцию угла с любой степенью точности.