§ 3. Инструменты геометрических построений

Аксиомы VII и VIII § 1 устанавливают возможность строить точки, принадлежащие уже построенной фигуре.

Аксиома IX позволяет строить некоторые новые точки, но этим точкам не приписывается никаких определённых свойств, кроме свойства быть новыми, ранее не построенными точками. Для построения новых точек, обладающих некоторыми определёнными, указанными свойствами, а также для построения линий пользуются различными "инструментами геометрических построений".

Для конструктивной геометрии необходимо располагать точным и для математических целей полным описанием того или иного инструмента. Такое описание даётся в виде аксиом. Эти аксиомы в абстрактной математической форме выражают те свойства реальных чертёжных инструментов, которые используются для геометрических построений.

Наиболее употребительными инструментами геометрических построений являются: линейка (односторонняя), циркуль, двусторонняя линейка (с параллельными краями) и некоторые другие.

Переходим к формулировке соответствующих аксиом.

А. Аксиома линейки. Линейка позволяет выполнить следующие геометрические построения:

а) построить отрезок, соединяющий две построенные точки;

б) построить прямую, проходящую через две построенные точки;

в) построить луч, исходящий из построенной точки и проходящий через другую построенную точку.

Б. Аксиома циркуля. Циркуль позволяет выполнить следующие геометрические построения:

а) построить окружность, если построены центр окружности и отрезок, равный радиусу окружности (или его концы);

б) построить любую из двух дополнительных дуг окружности, если построены центр окружности и концы этих дуг.

В. Аксиома двусторонней линейки. Двусторонняя линейка позволяет:

а) выполнить любое из построений, перечисленных в аксиоме

б) в каждой из полуплоскостей, определяемых построенной прямой, построить прямую, параллельную этой прямой и проходящую от неё на расстоянии где фиксированный для данной линейки отрезок (ширина линейки);

в) если построены две точки то установить, будет ли больше некоторого фиксированного отрезка (ширина линейки), и если то построить две пары параллельных прямых, проходящих соответственно через точки и отстоящих одна от другой на расстоянии

Рис. 6.

Реальное содержание пункта в) аксиомы В видно из рисунка 6. Из этого рисунка видно также, что каждая из упомянутых прямых образует с прямой угол зависящий только от ширины линейки и расстояния

Г. Аксиома прямого угла. Прямой угол позволяет:

а) выполнить построения, перечисленные в аксиоме линейки;

б) через данную точку плоскости провести прямую, Перпендикулярную некоторой построенной прямой;

в) если построены отрезок и некоторая фигура то установить, содержит ли фигура точку, из которой этот отрезок виден под прямым углом, и если такая точка существует, то построить такую точку.

Рисунок 7 поясняет смысл пункта в) аксиомы

Помимо перечисленных инструментов, Для Геометрических построений можно пользоваться и другими инструментами: произвольным углом, угольником, линейкой с отметками, парой прямых углов, различными приспособлениями для вычерчивания специальных кривых и др. Примеры таких построений встретятся нам позднее. Пока мы заметим только, что геометрические построения производятся каждый раз с определёнными, наперёд указанными инструментами, причём каждый набор инструментов характеризуется определённой системой аксиом.

Рис. 7.

Построения, о возможности которых сказано в аксиомах VII—IX § 1, вместе с построениями, перечисленными в аксиомах тех инструментов, которые избраны для построения, мы в дальнейшем будем называть основными построениями (для данного набора инструментов).

В частности, циркуль и линейка позволяют выполнить следующие основные построения:

1. Построить отрезок, соединяющий две построенные точки (акс. А, а).

2. Построить прямую, проходящую через две построенные точки (акс. А, б).

3. Построить луч, исходящий из построенной точки и проходящий через другую построенную точку (акс. А, в).

4. Построить окружность, если построены центр окружности и отрезок, равный радиусу окружности (или его концы) (акс. Б, а).

5. Построить любую из двух дополнительных дуг окружности, если построены центр окружности и концы этих дуг (акс. Б, б).

6. Построить любое конечное число общих точек двух построенных фигур, если такие точки существуют (акс. VII § 1).

7. Построить точку, принадлежащую какой-либо построенной фигуре (акс. VIII § 1).

8. Построить точку, заведомо не принадлежащую какой-либо построенной фигуре (акс. IX § 1).

Подобным же образом можно составить список основных построений для любого указанного набора инструментов.