§ 5. Решение задач на построение методом подобия

Основная идея метода подобия состоит в следующем. Сначала строят фигуру, подобную искомой, так, чтобы она удовлетворяла всем условиям задачи, кроме одного. Затем строят уже искомую фигуру, как фигуру, подобную построенной и удовлетворяющую опущенному требованию.

Метод подобия находит применение обычно в случаях, когда среди данных лишь одно является отрезком, а все остальные данные — либо углы, либо отношения отрезков.

Обычно целесообразно вспомогательную фигуру строить так, чтобы она была не только подобна искомой, но и подобно расположена с ней. Успех решения существенно зависит в этих случаях от выбора центра подобия.

При решении задач на построение методом подобия часто полезно воспользоваться следующим замечанием. Если две фигуры подобны, то коэффициент подобия равен отношению любых двух соответствующих отрезков. Если отрезкам фигуры соответствуют отрезки подобной фигуры то коэффициент подобия равен также отношениям

Рис. 131.

Пример 1. Построить равнобедренный треугольник по углу при вершине и сумме основания с высотой.

Анализ. Искомый треугольник должен удовлетворять трём условиям:

1) он должен быть равнобедренным;

2) угол при вершине должен быть равен данному углу а;

3) сумма основания и соответствующей высоты должна быть равна данному отрезку

Замечаем, что легко построить треугольник, удовлетворяющий первым двум условиям. Таких треугольников существует бесконечно много. Пусть мы построили один из них — треугольник (рис. 131), причём

Искомый треугольник, удовлетворяющий условиям 1) — 3), будем искать среди треугольников, гомотетичных треугольнику относительно какого-либо центра подобия, например относительно точки А. Пусть искомый. Ясно, что Пусть

высота треугольника точка пересечения прямых и Ясно, что — высота треугольника

Если в некоторой гомотетии точке В соответствует точка В, то точкам соответствуют точки Найдём коэффициент гомотетии, преобразующей треугольник в треугольник По условию дан отрезок I такой, что Кроме того, располагая построенным треугольником мы можем построить отрезок равный сумме

Тогда искомый коэффициент гомотетии равен т. е.

Итак, треугольник гомотетичен треугольнику относительно центра подобия А, причём коэффициент подобия равен

По этим данным искомый треугольник может быть построен.

Рис. 132.

Построение.

1. Строим произвольный треугольник (см. рис. 132), удовлетворяющий условиям 1) и 2) (так, что и

2. Строим высоту этого треугольника и на продолжении отрезка откладываем отрезок так, что Эту сумму обозначим через

3. Строим на луче точку такую, что

4. Строим соответствующий в гомотетии Для этого последовательно строим искомый.

Доказательство.

Пусть Так как то

Поэтому Но по построению. Значит,

Итак, удовлетворяет условию 3). Очевидно, что он удовлетворяет и условиям 1) и 2).

Исследование. Все шаги проведённого построения однозначно выполнимы. Поэтому данный способ построения

даёт единственное решение. Всякий другой треугольник удовлетворяющий условиям задачи, должен быть, очевидно, подобен построенному треугольнику Поэтому для всякого другого решения полученного каким-либо другим путём, будут выполняться соотношения:

Так как то и откуда ясно, что Таким образом, всякий другой приём построения приведёт к тому же решению, так что задача разрешима однозначно.

Пример 2. В данный остроугольный треугольник вписать квадрат так, чтобы две вершины квадрата лежали на основании треугольника, а две — на боковых сторонах.

Анализ. Требуется построить квадрат, удовлетворяющий следующим условиям:

1) две его вершины должны лежать на

2) одна вершина — на

3) одна вершина — на

Замечаем, что легко построить квадрат, удовлетворяющий первым двум условиям. Пусть это будет квадрат (см. рис. 133).

Рис. 133.

Ясно, что при гомотетии с центром А и любым коэффициентом гомотетии квадрат преобразуется в квадрат притом также удовлетворяющий условиям 1) и 2). При этом точка окажется заведомо на прямой

Чтобы решить задачу, нужно среди квадратов гомотетичных квадрату выбрать тот, у которого точка лежит на

В таком случае точка окажется точкой пересечения прямых и Отсюда вытекает построение.

Построение.

1. Строим произвольный квадрат удовлетворяющий условиям 1) и 2) (см. рис. 134).

2. Строим прямую и отмечаем точку её пересечения со стороной

3. Через проводим прямую, параллельную и отмечаем точку в которой она пересекает сторону

4. Из опускаем на перпендикуляры и Полученный прямоугольник искомый квадрат.

Рис. 134.

В самом деле, квадрат, ибо по самому способу построения он гомотетичен квадрату Кроме того, он, очевидно, удовлетворяет всем остальным требованиям задачи.

Задача всегда однозначно разрешима.

Пример 3. Построить треугольник, зная отношения медианы, биссектрисы и высоты, проведённых из одной вершины, а также разность радиусов описанной и вписанной окружностей.

Предварительно построим треугольник для которого данные отрезки являются соответственно медианой, биссектрисой и высотой, проведёнными из вершины А. Такое построение рассмотрено в задаче 3, гл. 1, § 7.

Искомый треугольник можно получить из треугольника посредством гомотетии с центром А и коэффициентом где разность радиусов окружностей, из которых одна описана около треугольника а другая вписана в него. При этом точка А перейдёт в себя, а точки соответственно в точки Треугольник удовлетворяет условиям задачи.

В самом деле, медиана, биссектриса и высота треугольника перейдут соответственно в такие же элементы треугольника причём гомотетия не изменит их отношений. Если радиусы окружностей, описанной и вписанной в треугольник то

откуда следует, что Таким образом, , что и требовалось доказать.

Задача однозначно разрешима при условии: Если то задача становится неопределённой. Другие соотношения между медианой, биссектрисой и высотой треугольника невозможны.