§ 6. О геометрических построениях с другими средствами

В чертежной практике для построений широко пользуются угольником, двусторонней линейкой и другими инструментами. Было бы неправильно поэтому рассматривать эти инструменты как не заслуживающие теоретического изучения и считать сочетание циркуля с линейкой единственным теоретически допустимым набором инструментов для геометрических построений.

В настоящее время правильнее всего смотреть на построения с циркулем и линейкой лишь как на один из возможных примеров теории геометрических построений с наперёд заданными средствами, причём этот пример наиболее традиционен. Поэтому нам представляется крайне желательным, чтобы в практике школьного преподавания, наряду с систематическим изучением построений с помощью циркуля и линейки, были затронуты также вопросы о построениях с различными другими инструментами. Учащиеся относятся к вопросам этого рода с живым интересом, и эти вопросы способствуют развитию геометрической инициативы и изобретательности учащихся.

В гл. I, § 4 было показано, как разделить данный отрезок пополам, пользуясь прямым углом или двусторонней линейкой.

Приведём здесь еще некоторые примеры.

Пример 1. Разделить данный угол пополам, пользуясь только линейкой с параллельными краями.

Решение (рис. 243). Приложить линейку одним краем к одной из сторон угла, а по другому краю провести прямую. Повторить эту операцию для второй стороны угла. Точка пересечения проведённых прямых расположена на биссектрисе данного угла, так что остаётся соединить её с вершиной.

Пример 2. Определить центр начерненной окружности, Пользуясь только прямым углом.

Ход решения виден из рисунка 244. Угол два раза помещают вершиной на окружности и отмечают точки пересечения сторон угла с окружностью. Соединяя эти точки попарно, получим два диаметра окружности.

Рис. 243.

Рис. 244.

Пример 3. Через данную точку провести прямую, параллельную данной прямой, пользуясь только данным углом.

Пусть (рис. 245) а — данная прямая, А — данная точка. Расположим данный угол так, чтобы одна из его сторон совпадала с прямой а, а другая проходила через точку А.

Рис. 245.

Проведём прямую I по второй стороне угла. Передвинем угол вдоль прямой I настолько, чтобы его вершина попала в точку А. После этого достаточно провести по стороне

угла, совпадающей с прямой I, прямую которая и будет искомой.

Пример 4. Через данную точку А провести прямую, параллельную данной прямой а, пользуясь только двусторонней линейкой

Выберем на прямой а произвольную точку В (рис. 246). Построим прямую Проведём по одну сторону от прямой последовательно две параллельные ей прямые Как это предусмотрено аксиомой В, б) (§ 3, гл. I). Пусть вторая из этих прямых, прямая с, пересечёт прямую а в точке С. Пусть прямая пересечёт прямую в точке а прямая пересечёт прямую с в точке Тогда четырёхугольник есть параллелограм, потому что его диагонали и взаимно делятся пополам. Поэтому искомая прямая.

Рис. 246.

Рис. 247.

Пример 5. Удвоить данный отрезок пользуясь только прямым углом.

Обратимся к построениям а), б) и в) аксиомы (§ 3, гл. I).

Проведём через данную точку А (рис. 247) произвольную прямую а, а через точку В прямую (построения а) и б), аксиома Пусть прямые пересекутся в точке С. Проведём ещё через точку А прямую с и пусть эта прямая встретится с прямой в точке Проведём через прямую а через С прямую и пусть прямые встретятся в точке Если теперь X — основание перпендикуляра к прямой проведённого из точки то так что и задача решена. В справедливости последнего соотношения легко

убедиться, если построить прямоугольный треугольник Тогда по гипотенузе и острому углу, так что В свою очередь, очевидно,

Пример 6. На данной прямой а отложить от данной точки О отрезок, равный данному отрезку пользуясь только прямым углом.

Решение, приведённое в примере 3, позволяет построить параллелограмм (рис. 248). Пусть, далее, (см. пример 5).

Рис. 248.

Пусть X — такая точка прямой а, из которой отрезок виден под прямым углом (построение в аксиомы Теперь как медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла. А так как то и точка X искомая.

Для систематического изучения различных инструментов геометрических построений необходимо прежде всего установить точный список основных построений, выполняемых тем или иным инструментом, как это было сделано нами для некоторых инструментов в § 2, гл. После этого обычно выясняют, можно ли тем или иным инструментом выполнить основные построения, производимые циркулем и линейкой.

Таким путём было установлено, что всякая геометрическая задача на построение конечного числа точек, которая может быть решена циркулем и линейкой, может быть решена также исключительно с помощью двусторонней линейки или исключительно с помощью данного угла (см. об этом, например, II]).

Из большего круга вопросов этого рода Мы остановимйй здесь подробнее на одном вопросе, близком к школьному курсу геометрии и почти не освещенном в литературе, — на построениях с циркулем и линейкой ограниченных размеров.

Допустим, что размах циркуля не превышает некоторого определённого отрезка а линейка имеет определённую длину Именно так обстоит дело в действительности, когда проводятся построения с циркулем и линейкой.

Докажем, что всякая геометрическая задача на построение конечного числа точек, разрешимая циркулем и линейкой, может быть решена циркулем и линейкой ограниченных размеров.

Для этого приведём прежде всего список основных построений, которые выполняются циркулем и линейкой ограниченных размеров. Построения эти следующие.

1. Построить отрезок, соединяющий две построенные точки если

2. Построенный прямолинейный отрезок неограниченно продолжить в направлении или в направлении

(Точный смысл построения 2 состоит в следующем: если построен отрезок то, каков бы ни был построенный отрезок всегда можно построить такой отрезок содержащий отрезок что и такой отрезок содержащий отрезок что

3. Построить окружность, центр которой находится в построенной точке и радиус которой равен построенному отрезку

4. Построить общие точки двух построенных линий (если такие точки существуют).

5. Построить произвольное конечное число точек, принадлежащих построенной фигуре.

6. Построить точку, заведомо не принадлежащую некоторой построенной фигуре.

Решим теперь некоторые вспомогательные задачи посредством циркуля и линейки ограниченных размеров. Ради определённости будем предполагать в дальнейшем, что

Задача 1. На построенном прямолинейном отрезке отложить от точки А отрезок, равный построенному отрезку

Если отрезок не превышает то решение общеизвестно. В противном случае откладываем на отрезке от точки С и на отрезке от точки А отрезок

последовательно до тех пор, пока оставшаяся часть отрезка не станет меньше после чего откладываем на отрезке также эту оставшуюся часть.

Задача 2. Построить середину построенного отрезка

Если то можно применить обычный приём.

В противном случае можно отложить на отрезке от обоих его концов по отрезку и искать середину полученного таким образом отрезка (рис. 249). Такое "укорачивание" данного отрезка придётся, быть может, произвести несколько раз.

Рис. 249.

Рис. 250.

Задача 3. Через построенную точку провести отрезок прямой, параллельной построенному отрезку (рис. 250).

Построим окружность где (осн. постр. 3. Пусть какие-либо две точки этой окружности, не лежащие на одном диаметре этой окружности (осн. постр. 5. Очевидно, что по крайней мере одна из прямых и пересекает прямую Поэтому при достаточном продолжении отрезков и каждый в обе стороны (осн. постр. 2, непременно окажется построенной хотя бы одна из точек пересечения прямой с прямой или Пусть для определённости пересекается с в точке С. В пересечении образуется некоторый угол. Остаётся построить при точке равный ему накрест лежащий угол. Построение угла, равного данному, может быть выполнено общеизвестным способом независимо от ограничений в размерах инструментов.

Согласно основному построению 1, две точки можно соединить отрезком прямой, если Докажем, что такой отрезок может быть построен с помощью инструментов ограниченных размеров также и в том случае, если

Пусть две построенные точки (рис. 251). Проведём через точку А какой-либо отрезок а, а через точку В (тем же методом, что и в задаче -пересекающий его отрезок Пусть С — точка их пересечения. Построим середину отрезка точку D (задача 2). Проведём через точку отрезок с параллельно отрезку по ту же сторону прямой а, что и отрезок В силу основного построения 2 можно считать, что отрезок

Отложим на отрезке с отрезок (1-я вспомогательная задача). Легко заметить, что середина отрезка Если то отрезок уже может быть построен. В противном случае можно таким же путём построить середины отрезков и После конечного числа шагов всегда образуются отрезки прямой каждый из которых так что каждый из них (а следовательно, и их соединение) может быть построен.

Рис. 251.

После того как мы установили, что любые две точки могут быть соединены отрезком, можно уже не принимать во внимание ограничений в размерах линейки. При этом справедливость доказываемого предложения непосредственно следует из теоремы Штейнера (§ 4 этой главы), так как мы всегда имеем возможность избрать на плоскости какую-либо точку и построить окружность с центром в этой точке и любым заданным радиусом, меньшим Практически приёмы решения задач на построение с циркулем и линейкой ограниченных размеров не должны однако всегда копировать приёмы построений с линейкой и штейнеровой окружностью, так как здесь мы располагаем довольно широкими возможностями в проведении окружностей.

Пример 1. Из данной точки опустить перпендикуляр на данную прямую а.

Обычный приём может быть использован лишь при условии, что расстояние точки от прямой а не превышает С помощью инструментов ограниченных размеров эту задачу

всегда можно решить следующим образом. Провести через точку отрезок прямой, параллельный а (см. 3-ю вспомогательную задачу), а затем построить перпендикуляр к этому отрезку в точке Построение перпендикуляра к данной прямой в данной на ней точке может быть произведено общеизвестным способом независимо от ограничений в размерах инструментов.

Пример 2. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе с и катету с, считая, что а

Делим отрезок с на частей до тех пор, пока не получим (задача 2).

Делим на столько же частей отрезок а, и пусть

Рис. 252.

Строим вспомогательный прямоугольный треугольник (см. рис. 252), такой, что его катет а гипотенуза На продолжении отрезка строим точку Стак, чтобы (задача 1). Проводим через точку С отрезок и продолжаем отрезки и до их взаимного пересечения в точке А. Треугольник искомый.

Мы уже видели, что задачи, решение которых сводится к построению корней уравнения 3-й степени, непроводимого над полем рациональных чисел, не могут быть решены циркулем и линейкой (гл. VII, § 3). Они не могут быть решены также с помощью двусторонней линейки или угольника. Установлено, что все такие задачи можно решить, если пользоваться линейкой с двумя пометками или двумя прямыми углами (примеры такого рода решений были приведены нами в гл. VII).

Наличие на плоскости каких-либо начерченных фигур часто расширяет конструктивные возможности того или иного инструмента. Наиболее яркий пример этого рода представляют построения с линейкой при наличии начерченной окружности (построения Штейнера). В древности Никомед

использовал конхоиду для трисекции угла, Диоклес указал способ удвоения куба с привлечением циссоиды. Декартом (1596—1650) было обнаружено, что всякая задача третьей или четвёртой степени может быть решена циркулем и линейкой при наличии начерченной параболы. Ньютон (1643—1727) пришёл к такому же выводу относительно эллипса или гиперболы (полное доказательство этого предложения было дано в середине XIX в.).

Вопрос о построениях при наличии начерченных фигур освещён в книгах [1], [33], [35].

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Какие основные построения можно выполнить посредством циркуля и линейки?

2. Как читается теорема Мора — Маскерони? Когда она была доказана?

3. Какова основная идея доказательства теоремы Мора — Маскерони?

4. Какой общий приём существует для решения задач на построение с помощью только циркуля?

5. Как читается теорема Штейнера? Когда была доказана эта теорема?

6. Какова основная идея доказательства теоремы Штейнера?

7. Какая точка называется в конструктивной геометрии недоступной?

8. Каким образом можно задать недоступную точку?

9. Какие инструменты могут полностью заменить циркуль и линейку при построении фигур, состоящих из конечного числа точек? (Привести примеры.)

10. Каковы основные построения, производимые линейкой с параллельными краями? прямым углом? циркулем и линейкой ограниченных размеров?

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)