§ 5. О построении некоторых однородных выражений циркулем и линейкой

Пользуясь понятием однородной функции, нетрудно выделить некоторые классы алгебраических выражений, которые могут быть построены циркулем и линейкой. Построение этих выражений производится с помощью основных построений, рассмотренных в § 2.

1. С помощью циркуля и линейки можно строить однородные алгебраические выражения 1-го измерения, которые образованы из длин данных отрезков исключительно с помощью действий умножения и деления. Общий вид такого выражения: где длины данных отрезков.

Задача сводится к последовательному выполнению построений по формулам

т. е. к построениям четвёртых пропорциональных отрезков (§ 2, п. 6).

Рис. 185.

Это построение удобно осуществить следующим образом (рис. 185): из произвольной точки О проводим и лучей; на каждом луче строим две точки так, чтобы

На последнем луче откладываем Строим затем отрезки Наконец, проводим ломаную такую, что точка лежит на луче и отрезок параллелен

Тогда на рис. 185 построен отрезок

В частности, всегда можно построить циркулем и линейкой отрезки, заданные формулами вида

2. Пусть данные отрезки однородные многочлены (с рациональными коэффициентами) от измерения соответственно Циркулем и линейкой можно построить отрезок заданный формулой

Частный пример построения подобного выражения мы рассмотрели в § 2 (см. прим. 6). Использованный там приём применяется и в общем случае. Многочлен является суммой однородных выражений вида :

где — рациональное число. Аналогично где рациональное число.

Пусть произвольный построенный отрезок, например а или Разделим числитель на а знаменатель на Тогда

представляет собой сумму выражений вида

Каждое такое выражение можно построить (как указано в п. 1), после чего легко строится и сумма таких выражений. Обозначим полученный отрезок через у, так что Аналогично построим отрезок z, такой, что Искомый отрезок построим по формуле

Таким образом, с помощью циркуля и линейки можно построить отрезок, длина которого задана в виде любой рациональной однородной функции 1-го измерения (с рациональными коэффициентами) от длин данных отрезков.

3. Циркулем и линейкой всегда можно построить выражение вида где подкоренное

выражение — однородная рациональная функция 2-го измерения рациональными коэффициентами.

Пусть произвольный отрезок. Тогда

Строим последовательно отрезки по формулам: (что возможно, ибо правая часть — рациональная функция 1-го измерения относительно (см. § 2, п. 8).

Пример. Пусть требуется построить выражение Это выражение можно представить как сначала построить и затем Заметим, что данное выражение можно строить и так: сначала построить а затем

Общий приём построения отрезка, заданного однородной функцией 1-го измерения от длин данных отрезков, заключается в том, Что мы выделяем последовательно однородные выражения 1-го измерения, которые можно построить как указано в § 2 пп. 1—10. Именно так мы и поступали при рассмотрении построений, указанных в пп. 1—3 этого параграфа.

Пример.

Представим заданное выражение в виде . Под квадратным корнем находится многочлен 4-го измерения. Нужно оставить под знаком корня выражение 2-го измерения, чтобы корень оказался однородным выражением

1-го измерения: Строим теперь отрезок у по формуле а затем и отрезок по формуле