§ 7. Примеры решения геометрических задач на построение

Приведём решения некоторых задач на построение.

Задача 1. Построить треугольник по основанию и двум медианам, проведённым к боковым сторонам.

Анализ. Допустим, что треугольник (рис. 20) искомый, АВ — основание, и -медианы, проведённые к боковым сторонам, точка пересечения медиан. По условию заданы отрезки и требуется, чтобы Построение треугольника сводится к построению трёх точек — его вершин. Так как построение основания (т. е. отрезка не вызывает затруднения, то задача сводится к построению вершины так что нужно строить точки

Точки лежат соответственно на лучах и причём точка удалена от А на расстояние а точка

удалена от В на расстояние Поэтому задача сводится к построению точки Точку можно построить как третью вершину треугольника если вершины заданы, так как т. е. все стороны треугольника известны.

Построение. Строим последовательно:

1) отрезок равный данному отрезку с (элементарная задача 3);

2) отрезок (элементарные задачи 7 и 3);

3) отрезок

4) треугольник по трём сторонам: (элементарная задача 8);

5) лучи и (осн. постр. 3 § 3);

6) точку на луче так, чтобы (элементарная задача 3);

7) на луче точку так, чтобы

8) точку Треугольник искомый.

Доказательство. Если середина середина то четырехугольник параллелограмм, так как его диагонали взаимно делятся пополам (рис. 21).

Рис. 20.

Рис. 21.

Следовательно, отрезки и равны и параллельны.

А так как средняя линия то и . Отсюда можно вывести, что отрезок служит средней линией треугольника так что действительно медианы этого треугольника.

Исследование. Построения 1), 2) и 3) всегда выполнимы. Для выполнимости построения 4) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

Построения 5), 6) и 7) всегда выполнимы. Покажем, что построение 8) также всегда можно осуществить.

Прямые всегда пересекутся, притом по ту же сторону от прямой где расположена точка В самом деле, если бы была параллельна то параллельные отрезки и между параллельными прямыми и были бы равны, вопреки тому, что (см. доказательство). А если бы прямые пересеклись по другую сторону от то отрезок был бы больше отрезка

Итак, задача имеет решение при условии

При нашем способе построения решение единственно, так как каждый шаг построения выполняется однозначно (с точностью до равенства).

Для полного исследования нужно ещё показать, что ни при каком другом способе построения нельзя получить треугольник, удовлетворяющий всем условиям задачи, но не равный построенному нами треугольнику. Это равносильно предложению: если основание и "боковые" медианы одного треугольника соответственно равны основанию и "боковым" медианам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство этой несложной теоремы мы опускаем.

Задача 2. Две прямые пересечены третьей прямой с. Построить отрезок, равный данному отрезку так, чтобы он был параллелен прямой с и концы его располагались на прямых

Анализ. Пусть (рис. 22) искомый отрезок,

Для выяснения связей между данными и искомыми придётся ввести некоторые вспомогательные точки и линии.

Пусть Ргзс Проведём и пусть Тогда так как четырёхугольник параллелограмм.

Для построения отрезка достаточно определить положение точки А, что сводится к построению точки В свою очередь построение точки не вызывает затруднений.

Рис. 22.

Построение. 1) Строим точку с (осн. постр. 6 § 3);

2) На прямой с откладываем от точки отрезок (элементарная задача 3).

Далее строим последовательно:

3) прямую (элементарная задача 5);

4) точку (осн. постр. 6);

5) прямую (элементарная задача 5);

6) точку

— искомый отрезок.

Доказательство. Из построения видно, что Кроме того, как противоположные стороны параллелограмма.

Исследование. Точка существует, так как по условию прямая с пересекает прямую Поэтому построение 1) всегда возможно. Построение 2) всегда возможно и даёт Две точки (рис. 23).

Построение 3) всегда однозначно выполнимо для каждой из точек

Возможны три случая:

(одновременно пересекает а (рис. 23);

Рис. 23.

(одновременно параллельна с (рис. 24); 7) или совпадает с а (рис. 25). Случай а) имеет место, если пересекает а. При этом построения однозначно выполнимы для каждой из точек Получаем два решения задачи.

Рис. 24.

Случай имеет место, когда причём прямые отсекают на прямой с отрезок, не равный В этом случае построение 4) не выполнимо, мы не получим ни одного решения.

В случае -у) (рис. 25), т. е. когда и отрезок, отсекаемый этими прямыми на прямой с, равен I, задача имеет бесконечное множество решений: искомый отрезок можно провести через любую точку прямой с.

Для полноты исследования надо ещё показать, что при всяком другом способе построения не могут возникнуть какие-либо новые решения. В случае пересечения прямых это сводится к предложению: все отрезки, отсекаемые сторонами угла на параллельных прямы, различны по величине.

Рис. 25.

Ясно, что в случае параллельности прямых не могут возникнуть решения, отличные от полученных нами.

Задача 3. Построить треугольник, зная биссектрису, медиану и высоту, проведённые из одной его вершины.

Анализ. Пусть (рис. 26) — искомый треугольник, его высота, а — медиана, биссектриса угла Представим себе окружность описанную около треугольника Пусть центр. Тогда прямая перпендикулярна хорде и поэтому делит пополам каждую из двух дуг окружности, стягиваемых этой хордой. Но биссектриса также делит пополам ту дугу окружности на которую опирается угол Поэтому прямая и биссектриса встретятся в точке описанной окружности. Заметим ещё, что перпендикуляр из О на проходит через середину 5 отрезка

Рис. 26.

Построение. По гипотенузе и катету На строим прямоугольный треугольник На луче находим

точку проводя окружность до пересечения с прямой Находим точку пересечения прямой с перпендикуляром к прямой в точке Строим центр О описанной окружности как пересечение прямой с перпендикуляром к отрезку проведённым через его середину. Точки образуются в пересечении прямой с окружностью

Доказательство. Отрезок служит высотой треугольника так как при точке строился прямой угол. Точка середина отрезка так как является основанием перпендикуляра, опущенного из центра окружности на её хорду Так как точка середина дуги то вписанные углы и равны между собой, так что биссектриса угла А.

Исследование. Необходимым условием разрешимости являются соотношения:

так как в треугольнике либо биссектриса располагается между медианой и высотой, либо все эти линии совпадают (доказательство этого предложения можно найти в [7], задачи 9, 11). Если то задача состоит в построении равнобедренного треугольника по его высоте (которая одновременно служит его биссектрисой и медианой). Такая задача является неопределённой, причём построение отдельных её решений не представляет никакого труда. Обратимся к случаю и исследуем задачу по ходу приведённого выше построения. Треугольник может быть построен и определяется условием однозначно. Окружность пересечётся с лучом в точке (так как

Точка всегда существует и определяется однозначно, как пересечение перпендикуляра и наклонной к одной прямой. Прямая не перпендикулярна так как она не параллельна поэтому перпендикуляр к отрезку всегда встретится с т. е. центр описанной окружности существует и определяется при данном способе построения однозначно. Прямая пересекается с окружностью в двух точках так как проходит через внутреннюю точку этой окружности. Итак, указанный приём построения всегда приводит к решению.

Другой приём построения не может дать никакого нового решения: путём наложения можно доказать равенство двух

треугольников, если медиана, биссектриса и высота одного треугольника, проведённые из одной его вершины, соответственно равны медиане, биссектрисе и высоте другого треугольника, также проведённым из одной вершины.

Задача 4. Построить треугольник по двум высотам и медиане

Анализ. Пусть (рис. 27) — искомый треугольник, его медиана

Рис. 27.

Построение угольника станет совсем простым, если удастся определить его угол Но Проведём Тогда станет ясно, что угол легко определяется путём построения прямоугольного треугольника в котором известна гипотенуза и катет Аналогично определяется и угол

Рис. 28.

Построение (см. рис. 28). 1) Строим прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету Строим прямоугольный треугольник

гак, чтобы точки располагались по разные стороны прямой и чтобы На луче откладываем отрезок Через точку К проводим прямую, параллельную и отмечаем точку В её встречи с лучом Строим прямую Отмечаем точку С встречи прямых и Треугольник искомый.

Доказательство. Из равенства треугольников и следует, что т. е. медиана. по построению. Опустим из В перпендикуляр на Тогда Пусть В треугольнике отрезок служит средней линией. Поэтому так как по построению.

Исследование. Первый шаг вышеприведённого построения возможен и однозначно выполним, если второй — если Шаги 3, 4, 5 и 6 всегда возможны. Таким образом, приведённый способ построения даёт единственное решение, если одновременно Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то решений нет. Невозможность получения иных решений другим способом следует из того, что при условии два треугольника и оказываются равными.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Перечислите общие аксиомы конструктивной геометрии.

2 Назовите известные вам инструменты геометрических построений.

3. Перечислите основные геометрические построения, выполнимые при наличии одного из следующих инструментов: линейки, циркуля, двусторонней линейки, прямого угла.

4. Что называется решением геометрической задачи на построение?

5. Что значит решить геометрическую задачу на построение?

6. Изложите полное решение элементарных задач 5, 6, 7, 11, 12 (см. § 5).

7. Из каких этапов состоит полная схема решения геометрической задачи на построение?

8. Какова цель анализа геометрической задачи на построение и как он проводится?

9. В чём заключаются второй и третий этапы решения геометрической задачи на построение?

10. Какова цель исследования решения геометрической задачи на построение? Каков основной практический приём исследования?

ЗАДАЧИ

(см. скан)