§ 8. Признак возможности построения отрезка, являющегося заданной функцией данных отрезков, с помощью циркуля и линейки

Пользуясь циркулем и линейкой, мы строили ряд выражений, как однородных, так и неоднородных. Однако не всякое алгебраическое выражение можно построить этими инструментами. Из того, что длина некоторого (искомого) отрезка является известной функцией данных отрезков, ещё

не следует, что его можно построить циркулем и линейкой. Так, например, этими инструментами не могут быть построены отрезки, заданные формулами и многие другие.

Установим критерий, который позволил бы выяснить в каждом отдельном случае, можно ли отрезок, заданный формулой, построить циркулем и линейкой или нельзя. Для краткости операции сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения квадратного корня (арифметического из неотрицательного числа) назовём основными действиями.

В дальнейшем мы предполагаем, что дан (или выбран) единичный отрезок. В том случае, когда строится однородное выражение 1-го измерения, мы можем выполнить построение, не пользуясь этим отрезком. Во всех остальных случаях он существенно необходим для построения.

Теорема. Для того чтобы циркулем и линейкой можно было построить отрезок, длина которого является заданной положительной функцией длин данных отрезков, необходимо и достаточно, чтобы длину искомого отрезка можно было выразить через длины данных отрезков при помощи конечного числа основных действий.

Доказательство. 1. Достаточность. Пусть нужно построить некоторый отрезок, длина которого выражается через длины данных отрезков с помощью конечного числа основных действий. Покажем, что такой отрезок можно построить с помощью циркуля и линейки. Мы уже видели, что циркулем и линейкой можно построить отрезок, длина которого равна одному из следующих выражений: 1) сумме длин построенных отрезков, 2) разности длин построенных отрезков (где уменьшаемое больше вычитаемого), 3) произведению, 4) частному длин двух построенных отрезков и 5) квадратному корню из длины построенного отрезка. Помимо перечисленных выражений, положительная функция, составленная только с помощью основных операций, может содержать одну или несколько отрицательных разностей. Но каждый раз, когда встретится такая разность, от неё можно перейти к положительной разности, пользуясь тождественным соотношением После конечного числа таких тождественных преобразований данная функция будет содержать уже только разности, в которых уменьшаемое больше вычитаемого. Отсюда вытекает, что действительно можно выполнить последовательно все

построения, соответствующие основным операциям, в том порядке в каком эти операции указаны в заданной формуле, так что после конечного числа шагов мы действительно построим отрезок, длина которого выражается через длины данных отрезков заданной формулой.

2. Необходимость. Пусть известно, что отрезок и, длина которого и является заданной функцией от длин данных отрезков [т. е. ], может быть построен циркулем и линейкой. Докажем, что в таком случае длина отрезка и может быть выражена через длины данных отрезков с помощью конечного числа основных действий.

Как известно, всякое построение точек, выполнимое циркулем и линейкой, сводится к выполнению конечного числа следующих основных построений: 1) построение прямой, проходящей через две построенные точки; 2) построение окружности с центром в построенной точке и радиусом, равным расстоянию между двумя построенными точками; 3) построение общих точек: а) двух построенных прямых, б) построенной прямой и построенной окружности, в) двух построенных окружностей; 4) построение точки, заведомо не принадлежащей построенной фигуре или же заведомо ей принадлежащей (см. гл. I § 3).

Возможность построения отрезка и надо понимать как существование цепочки из конечного числа основных построений, которая приводит к искомому отрезку и при любом расположении данных отрезков. При этом результат построения (т. е. величина отрезка и) не должен зависеть от положения данных отрезков Выбор произвольных точек (заведомо принадлежащих или заведомо не принадлежащих какой-либо попутно построенной фигуре) также не должен сказываться на величине и (хотя и может повлиять на его расположение).

Построим на плоскости прямоугольную систему координат (рис. 191). Всегда можно расположить отрезки на положительном луче оси абсцисс так, чтобы одним из концов каждого отрезка служило начало координат О. Таким образом на оси абсцисс образуются точки:

Ясно, что построение отрезка и равносильно построению его концов Так как отрезок и можно построить, то должна существовать цепь из конечного числа основных

Построений, в результате выйолнения который каком-то шаге будет построен один из концов отрезка (например, точка А), а на некотором шаге другой его конец, точка В. Длина отрезка и определяется через координаты и точек по формуле:

Нам нужно теперь показать, что числа выражаются через числа лишь с помощью конечного числа основных действий.

Рис. 191.

Условимся называть координаты центра окружности и её радиус параметрами окружности, коэффициенты уравнения прямой (записанного в виде или параметрами прямой, координаты точки — параметрами этой точки.

Выясним, в чём сущность дальнейших наших рассуждений. Точки могут появляться в ходе построения либо как произвольно выбираемые (см.. п. 4), либо как. общие точки двух ранее построенных линий В первом, случае мы можем ограничить себя в выборе и выбирать только такие точки, координаты которых выражаются через при помощи только основных операций. Во втором случае мы, как можно показать, всегда будем получать точки, координаты которых выражаются через параметры - ранее построенных точёк и линий лишь при помощи основных действий. Но параметры ранее построенных точек и линий, как мы увидим, выражаются, в свою очередь, через параметры ещё раньше построенных точек и линий также лишь при помощи

основных действий. Эти рассуждения и приводят нас в конечном счёте к выводу, что параметры точек выражаются через координаты точек через числа лишь при помощи основных действий, что и нужно доказать.

Ниже строго доказывается следующее предложение: основных построений, в результате которых получаются концы отрезка и, можно всегда выполнить так, чтобы в результате каждого из них строилась линия или точка, параметры которой выражаются через длины данных отрезков лишь с помощью конечного числа основных действий. Для доказательства применяем метод полной индукции.

Рассмотрим сначала 1-й шаг. На шаге выполняется одно из следующих построений: 1) построение окружности с центром в данной точке О) и радиусом, равным расстоянию между какими-либо двумя данными точками; уравнение её будет где числа означают длины данных отрезков или нуль; 2) построение прямой, проходящей через две данные точки, в результате чего получится ось абсцисс; 3) выбор произвольной точки, являющейся одной из данных точек или же заведомо не являющейся одной из них. В первых двух случаях, очевидно, параметры построенных линий выражаются через длины данных отрезков рационально. В третьем случае всегда можно выбрать в качестве произвольной точки такую точку, координаты которой рационально выражаются через длину одного из данных отрезков.

Таким образом, для 1-го шага построения справедливость доказываемого предложения установлена. Пусть теперь в результате первых шагов нами построены линии и точки, параметры которых выражаются с помощью лишь основных действий через числа

Покажем, что то же будет иметь место и после шага. Рассмотрим каждый из возможных случаев.

1-й случай. На шаге строится прямая, проходящая через две известные точки В силу индуктивного допущения можно считать, что их координаты выражаются через числа посредством конечного числа основных действий. Уравнение прямой, которую мы строим, имеет вид:

т. е.

или

где рационально выражаются через числа а следовательно, параметры выражаются через числа с помощью лишь конечного числа основных действий.

Наше рассуждение непригодно, если Но в этом случае уравнение прямой имеет вид и следовательно, параметр её также выражается через числа посредством конечного числа основных действий.

2-й случай. На шаге строится окружность с центром в построенной точке и радиусом, равным расстоянию между двумя построенными точками и Уравнение окружности имеет вид где

В силу индуктивного допущения заключаем, что параметры построенной окружности выражаются через числа посредством конечного числа основных действий.

3-й случай. На шаге строится точка пересечения двух построенных прямых. Пусть уравнения этих прямых:

и

Координаты точки пересечения (а таковая существует, если могут быть найдены путём решения системы двух уравнений (1) и (2). Мы найдём при этом:

Но параметры прямых (1) и (2) выражаются, в силу индуктивного допущения, через числа с помощью лишь конечного числа основных действий. Значит и координаты точки пересечения данных прямых определяются через числа с помощью конечного числа основных действий. Ещё проще установить справедливость предложения для случая, когда уравнение одной из прямых имеет вид

4-й случай. На шаге строятся общие точки прямой и окружности. Пусть уравнение окружности

Пусть уравнение прямой

Параметры прямой и окружности выражаются, в силу допущения, через числа посредством конечного числа основных действий. Координаты общих точек прямой и окружности найдём, решая совместно два уравнения (1) и (2). Исключая из этих уравнений у, получим квадратное уравнение относительно х. Решив его, найдём х, а затем и у, которые выражаются через числа посредством конечного числа основных действий. Вычисления показывают, что

у находим затем по формуле (2). Под радикалом не может возникнуть отрицательное число, так как это означало бы, что числа х мнимые, т. е. что окружность не пересекается с прямой, а это противоречит условию. Рассуждая, как и ранее, найдём, что координаты общих точек прямой и окружности выражаются через числа лишь посредством конечного числа основных действий. Результат остаётся в силе и для случая, когда рассматриваемая прямая параллельна оси ординат.

5-й случай. На шаге строятся общие точки двух окружностей. Координаты общих точек должны удовлетворять двум уравнениям:

причём параметры этих окружностей выражаются, в силу допущения, через числа посредством конечного числа основных действий. Система уравнений (1) и (2) легко приводится к системе, состоящей из одного линейного уравнения и одного уравнения 2-й степени:

Уравнение (1) получается путём почленного вычитания уравнений (1) и (2). Решая систему уравнений (1) и (1), выразим х и у через числа следовательно, через числа лишь с помощью конечного числа основных действий.

6-й случай. На шаге строится произвольная точка, заведомо не принадлежащая некоторой ранее построенной фигуре Покажем, что эта точка может быть построена так, чтобы её параметры (координаты) выражались через числа рационально.

Так как по условию даны только несколько отрезков и мы пользуемся только циркулем и линейкой, то фигура может быть только соединением конечного числа точек, прямых, отрезков, лучей, окружностей и их дуг. Пусть в процессе построений, которые производились на первых шагах, построено всего прямых, отрезков и лучей. Выберем на оси абсцисс точек с абсциссами и проведём через них прямые, параллельные оси ординат. Ясно, что хотя бы одна из них не является одной из ранее построенных прямых и не содержит ни одного из ранее построенных отрезков или лучей.

Изберём эту прямую. Эта прямая имеет с фигурой конечное число общих точек; пусть их будет Построим на избранной прямой точек с ординатами Очевидно, что по крайней мере одна из них отлична от точек фигуры (Общие аксиомы конструктивной геометрии (гл. 1, § 1) обеспечивают возможность построения такой точки.) Координаты этой точки рационально выражаются через а

7-й случай. На шаге строится точка, принадлежащая одной из построенных [линий. Надо доказать, что эта точка может

быть выбрана так, чтобы её координаты выражались через данные числа исключительно с помощью основных операций в конечном числе, причём она должна быть отлична от ранее построенных точек указанной линии.

Пусть для определённости ранее построенная линия — окружность, уравнение которой имеет вид:

Пусть на этой окружности надо построить точку, отличную от каких-то имеющихся на ней точек На окружности (1) всегда можно выбрать точек с абсциссами, рационально выражающимися через числа и Для этого можно, например, разделить отрезок — оси абсцисс на равных частей, и тогда концы этого отрезка и точки деления получат абсциссы, рационально выражающиеся через В каждой из этих точек восставим перпендикуляр к оси абсцисс и отметим какую-либо точку пересечения его с окружностью (1). Хотя бы одна из таких точек отлична от всех точек Обозначим её через Ясно, что её абсцисса х рационально выражается через числа а следовательно, выражается посредством конечного числа основных действий через числа Ординату же у этой точки мы найдём из уравнения (1), так что она выразится с помощью конечного числа основных действий через числа а значит, и через числа

Итак, мы показали, что шаг можно выполнить так, чтобы на этом шаге получить точки и линии, параметры которых выражаются через числа лишь с помощью конечного числа основных действий. В частности, в результате шагов мы получим точки координаты которых выражаются через числа лишь посредством конечного числа основных действий.

Теорема доказана.

Следствие. Если дан только отрезок, принимаемый за единичный, и I — данное число, то отрезок длиной I может быть построен циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда число I может быть получено из 1 посредством лишь конечного числа основных действий.