Глава IV. ГОМОТЕТИЯ

§ 1. Определение гомотетии

Пусть на плоскости задана некоторая точка 5 и, кроме того, задано действительное число неравное нулю.

Гомотетией (или перспективно-подобным преобразованием, или центрально-подобным преобразованием) с центром в точке и коэффициентом называется такое преобразование фигуры, при кстором:

1. Каждой отличной от точке этой фигуры сопоставляется такая точка

а) точки лежат на одной прямой;

б) длина отрезка в раз больше длины отрезка т. е.

в) отрезки и одинаково направлены, если и противоположно направленых если

2. Точке 5 сопоставляется эта же точка.

Пользуясь векторными обозначениями, условия, определяющие гомотетию, можно объединить в одно, а именно: Гомотетию с центром 5 и коэффициентом будем обозначать так:

На рисунке 110 изображены несколько точек и их образы соответственно в гомотетии с центром 5 и коэффициентом Здесь

Если в некоторой гомотетии точке ставится в соответствие точка то говорят, что точка гомотетична точке Аналогично, если некоторая гомотетия преобразует

какую-либо фигуру в фигуру то фигуру называют гомотетичной фигуре

Ясно, что если гомотетия преобразует фигуру в фигуру то гомотетия преобразует фигуру в фигуру

Рассмотрим некоторые частные примеры гомотетии.

1. В этом случае т. е. точка совпадает с точкой (при любом выборе Иными словами, каждая точка плоскости преобразуется в себя. Таким образом, при гомотетия представляет собой тождественное преобразование плоскости.

2. Точка симметрична точке относительно центра гомотетии. В этом случае гомотетия является симметрией относительно точки

Рис. 110.

Наглядно можно представить себе гомотетию при как растяжение плоскости от точки а при как сжатие плоскости к центру гомотетии.

Гомотетия называется прямой при и обратной при

В случае прямой гомотетии точка и её образ располагаются по одну сторону от центра, в случае обратной гомотетии— по разные стороны.

Если существует гомотетия, преобразующая данную фи-гуру в некоторую другую данную фигуру то эти фигуры называют иногда перспективно-подобными или подобными и подобно-расположенными, а центр гомотетии называется центром подобия этих фигур. В случае, когда каждая точка фигуры и соответственная ей точка фигуры располагаются по одну сторону от центра подобия (гомотетия прямая), центр подобия называется внешним. Если же соответственные точки перспективно-подобных фигур располагаются по разные стороны от центра подобия (гомотетия обратная), то центр подобия называется внутренним.

На рисунке 111 - внешний центр подобия фигур

На рисунке -внутренний центр подобия фигур

Рис. 111.

Рис. 112.

Рис. 113.

Не следует думать, что внешний центр подобия двух фигур всегда располагается вне этих фигур. На рисунке 113 показано преобразование фигуры в фигуру в прямой гомотетии, точка 5 служит внешним центром подобия этих фигур,