§ 4. Окружность Аполлония

Рассмотрим следующую задачу: найти ГМТ плоскости, для которых отношение расстояний от двух заданных в этой плоскости точек равно данному положительному числу

Рис. 45.

На прямой существуют две точки, принадлежащие искомому точка делящая отрезок в отношении к внутренним образом (рис. 45), и точка делящая отрезок в том же отношении внешним образом, так что

Теперь -произвольная точка искомого ГМТ. Тогда

Соединим Из соотношений (1) и (3) следует, что Значит, отрезок исходящий из вершины делит сторону треугольника В внутренним образом на части, пропорциональные боковым сторонам и Отсюда нетрудно заключить, что биссектриса угла

Аналогично из соотношений (2) и (3) вытекает, что откуда следует, что биссектриса угла (внешний угол треугольника при вершине Но биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны; поэтому

Итак, из произвольной точки (отличной от искомого ГМТ отрезок виден под прямым углом. Следовательно, каждая точка, обладающая указанным свойством, расположена на окружности диаметром которой является отрезок

Докажем теперь обратное предложение: каждая точка этой окружности (в обладает тем свойством, что

Если точка совпадает с точкой или с точкой то предложение справедливо. Пусть отлична от и от

Рис. 46.

Соединим (рис. 46). Из двух точек одна расположена на отрезке другая вне его. Положим для определённости, что В — внутренняя точка отрезка Проведём через В прямую, параллельную и отметим точки пересечения её с прямыми и Так как то или Так как то т. е. Значит,

Иными словаки, в треугольнике отрезок является медианой стороны Но треугольник прямоугольный как вписанный, опирающийся на диаметр). Медиана же, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы, Но раньше было показано, что Следовательно, что требовалось доказать.

Итак, геометрическим местом точек плоскости, расстояния которых от двух данных точек находятся в данном отношении X, отличном от нуля и единицы, является окружность, концами одного из диаметров которой служат точки, делящие отрезок внутренним и внешним образом в данном отношении. Эта окружность называется окружностью Аполлония.

Рис. 47.

Если число X задано в виде отношения двух отрезков тип, то окружность Аполлония легко может быть построена с помощью циркуля и линейки. Для этого достаточно, очевидно, построить точки делящие отрезок в данном отношении соответственно внутренним и внешним образом. Способ построения ясен из рисунка 47, где так что

Мы предполагали, что и Если то искомое ГМТ состоит из единственной точки А. Если то искомое ГМТ - симметраль точек