§ 3. Построение корней квадратных уравнений

Пусть имеются два отрезка Длины их Можно дать правила, позволяющие построить без вычислвний отрезки, длины которых в точности равны действительным корням квадратных уравнений точнее — абсолютным величинам этих корней. Свободный член записываем здесь в виде (а не так как в таком случае равенству можно придать простой геометрический смысл, рассматривая это равенство как соотношение между площадями двух квадратов и прямоугольника

Для решения поставленной задачи Можно воспользоваться либо формулами корней квадратного уравнения, либо формулами Виета. Рассмотрим оба способа.

Первый способ.

1) Для уравнения

Строим прямоугольный треугольник с гипотенузой и катетом (рис. 182). Строим окружность и Проводим прямую до пересечения её с окружностью в точках и Легко понять, что

2) Для уравнения

Рис. 182.

Строим последовательно: прямоугольный треугольник с катетами (рис. 182), окружность со прямую Отмечаем точки и её пересечения с окружностью Легко проверить, что

Решение уравнения вида сводится к решению уравнения одного из рассмотренных видов с помощью подстановки

Рис. 183.

Второй способ (с помощью формул Виета).

1) Уравнение вида Корни этого уравнения связаны формулами: Задача сводится поэтому к построению двух отрезков по их сумме и среднему геометрическому между ними. Строим последовательно (см. рис. 183): окружность с диаметром прямую параллельную диаметру и отстоящую от него на расстоянии точку пересечения или касания этой прямой с окружностью (если такая точка существует), перпендикуляр к диаметру Полагая

убедимся, что эти числа удовлетворяют обоим соотношениям Виета, а следовательно, и данному уравнению.

Заметим, что прямая пересечёт окружность лишь тогда, когда В этом случае задача имеет два различных решения. Если прямая коснётся окружности то т. е. уравнение имеет два равных действительных корня; при этом Наконец, если прямая не имеет общих точек с окружностью то данное уравнение не имеет действительных корней.

Рис. 184.

2) Корни уравнения вида связаны условиями: Отсюда видно, что один корень положительный (пусть это будет а второй (т. е. отрицательный. Таким образом,

Поэтому

Задача сводится к построению двух отрезков по их разности и среднему геометрическому.

Строим последовательно (рис. 184): окружность касательную к ней в произвольной точке точку А на касательной, такую, что прямую Пусть и -точки пересечения прямой с окружностью Нетрудно проверить, что