§ 2. Спрямление окружности и квадратура круга

Задача о квадратуре круга пользовалась исключительной известностью с древнейших времён и тысячелетиями привлекала к себе внимание математиков. Она привлекает к себе внимание прежде всего простотой формулировки: построить квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга.

Рис. 199.

Долгое время не возникало сомнения в возможности осуществить квадратуру круга. Эта уверенность подкреплялась, по-видимому, тем, что ещё в V в. до н. э. греческому геометру Гиппократу удалось превратить в квадрат некоторые круговые луночки" (часть плоскости, ограниченная дугами двух окружностей). На рисунке 199 изображена "луночка" равновеликая треугольнику (который нетрудно превратить в равновеликий ему квадрат).

Популярность задачи о квадратуре круга "росла вместе с числом неудачных попыток её разрешения".

В XV в. были высказаны предположения о невозможности решить эту задачу циркулем и линейкой (Леонардо да Винчи и другие).

В XVII и XVIII вв. делались попытки доказать неразрешимость задачи о квадратуре круга. Исследования этого вопроса вызвали к жизни некоторые проблемы из области алгебры и теории чисел.

Площадь круга радиуса равна т. е. равна площади квадрата со стороной которая строится как средний пропорциональный отрезок между отрезками

И если бы можно было, зная радиус круга построить отрезок длиной то легко можно было бы построить такой квадрат.

И обратно: если бы при данном можно было построить квадрат, равновеликий кругу, то можно было бы построить отрезок, равный по длине окружности. В самом деле: если а — сторона упомянутого квадрата, то так что искомый отрезок строится как четвёртый пропорциональный отрезок к отрезкам 2а, а к

Итак, задача о квадратуре круга равносильна задаче о "спрямлении окружности", т. е. о построении отрезка длиной При длина окружности равна Поэтому задача о спрямлении окружности привела к изучению свойств числа

В 1766 г. известным швейцарским математиком Иоганном Ламбертом (1728—1777) было дано первое доказательство иррациональности числа впоследствии усовершенствованное Лежандром (1752—1833). Доказательства иррациональности числа дали также Эйлер, Гаусс, Эрмит и другие. Но этим лишь наметился путь для дальнейших исследований: иррациональность числа ещё не решала вопроса о возможности квадратуры круга ни в положительном, ни в отрицательном смысле.

Чтобы уяснить себе алгебраическую сторону проблемы, вспомним признак возможности построения отрезка циркулем и линейкой (глава VI, § 8): если длина отрезка,

который может быть построен с помощью циркуля и линейки, является функцией длин данных отрезков, то она может быть выражена через длины данных отрезков с помощью конечного числа рациональных операций и операций извлечения квадратного корня. Исходя только из и полагая мы заметим, что длина искомого отрезка должна образоваться из 1 с помощью только рациональных операций и операций извлечения квадратного корня. Известно, что такие числа являются алгебраическими, т. е. служат корнями многочленов с рациональными коэффициентами (см., например, Курош, Курс высшей алгебры, 1955, § 55. Числа, не являющиеся алгебраическими, называют трансцендентными. Таким образом, для разрешимости задачи о квадратуре круга необходимо, чтобы число было алгебраическим, а не трансцендентным.

Первые примеры трансцендентных чисел были получены только во второй половине XIX в. Впоследствии оказалось, что множество трансцендентных чисел является "более мощным", "более богатым" элементами, чем множество алгебраических чисел. В 1882 г. было доказано, что число является трансцендентным числом Линдеманн, 1852— 1939).

Вместе с этим, наконец, была разрешена проблема квадратуры круга: квадратура круга невозможна с помощью циркуля и линейки.

Несмотря на то, что задача о спрямлении окружности (и задача о квадратуре круга) с помощью циркуля и линейки теоретически точно не разрешима, можно указать различные простые приёмы приближённого решения этой задачи с достаточной для практических целей точностью.

Если разделить окружность точками на достаточно большое число достаточно малых дуг, то периметр многоугольника, для которого эти точки служат последовательно вершинами, может быть принят за длину окружности. Этот приём широко используется в чертёжной практике. Недостаток его состоит в том, что точность решения сравнительно трудно поддаётся учету.

Известно, что ещё в III в. до н. э. Архимед нашел, что тсйу. При таком допущении отрезок длиной строится как три целых и одна седьмая диаметра данной

окружности. Это построение даёт приближённое решение задачи с избытком, причём относительная погрешность не превышает

Интересный приём приближённого спрямления окружности с помощью только циркуля предложил итальянский геометр Маскерони (1750—1800). Пусть О — центр данной окружности, А — какая-либо точка окружности (рис. 200).

Рис. 200.

Строим четыре последовательные вершины правильного вписанного шестиугольника: Пусть точка пересечения окружности и окружности Пусть в пересечении дуги данной окружности с окружностью образуется точка Тогда длина отрезка равна одной четвёртой части длины окружности с точностью до

Обоснование этого способа можно найти, например, в [1], § 20, п. 161. Оказывается, что при в то время как

Оригинальный приём приближённого спрямления окружности был предложен в 1685 г. польским математиком Коханским (1631—1700). Сущность этого приёма ясна из прилагаемого рисунка 201. На этом рисунке

отрезок даёт приближенную величину длины полуокружности радиуса 1. Способ Коханского интересен тем, что построение осуществляется линейкой и циркулем постоянного размаха.

Простой способ приближённого спрямления окружности посредством циркуля и линейки предложен недавно Г. Мюллером.

Рис. 201.

Рис. 202.

Ход построения по этому способу легко проследить по рисунку 202, где