Глава VIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ОГРАНИЧЕНИЯХ

Геометрическая задача на построение всегда решается с привлечением только некоторых наперёд указанных средств. Этим самым круг производимых построений всегда ограничен: разрешено только как угодно комбинировать те основные построения, которыми характеризуются принятые инструменты, и пользоваться общими аксиомами конструктивной геометрии.

До сих пор мы рассматривали почти исключительно геометрические построения в условиях неограниченного применения циркуля и линейки. Эти условия могут быть более ограничены за счёт сокращения числа применяемых инструментов, за счёт ограничения размеров чертежа и инструментов. Рассмотрим здесь некоторые вопросы этого рода.

§ 1. Построения одним циркулем

Многие геометрические задачи на построение естественным образом решаются с привлечением только циркуля, причём в привлечении линейки иногда не только нет необходимости, но это даже не может упростить решение таких задач. Таковы, например, задачи: "Разделить данную окружность на 6 равных частей" (решение которой общеизвестно); "Построить точку, симметричную данной точке, относительно данной прямой" (решение которой одним циркулем приведено в гл. III § 3). Рассмотрим ещё некоторые примеры решения задач исключительно циркулем.

Задача 1. Повторить данный отрезок раз, пользуясь только циркулем.

Пусть А и — две данные точки. Требуется найти на прямой такие точки чтобы

Проведём окружности и пусть -одна из точек их пересечения (рис. 215). Строим далее окружность и отмечаем точку С её пересечения с окружностью и), отличную от А. Наконец, проводим окружность и пусть точка её пересечения с окружностью отличная от В.

Рис. 215.

Тогда точки расположены на одной прямой и так как точки представляют четыре последовательные вершины правильного шестиугольника, вписанного в окружность Таким образом т. е. первая из искомых точек. Применяя такое же построение к отрезку получим точку такую, что значит, (Заметим, что при построении точки можно использовать уже проведённые окружности

Задача 2. Построить часть заданного отрезка.

Пусть - две данные точки. Находится такая точка С отрезка чтобы Пусть (рис. 216) (на рисунке Строим окружности и и пусть точки их пересечения. Искомая точка С может быть получена теперь как точка пересечения окружностей и отличная от В самом деле:

1) Отрезок общая хорда двух окружностей Поэтому линия центров этих окружностей перпендикулярна отрезку и проходит через его середину.

Отсюда и вытекает, что на прямой лежат все точки, равноудалённые от точек и в частности точка С.

2) , так как они оба равнобедренные имеют один и тот же угол при основании (угол А). Поэтому или

Рис. 216.

Задача 3. Даны три точки Пользуясь только циркулем, установить, лежат ли эти точки на одной прямой.

Проведём окружности и В силу аксиомы 2, гл. I, § 1 можно считать построенным пересечение этих окружностей. Эти окружности имеют общую точку С.

Рис. 217.

Рис. 218.

Если точка С является единственной их общей точкой (рис. 217), то окружности эти касаются и точка С лежит на прямой Если же окружности имеют две общие точки (рис. 218), то

точка С не лежит на прямой так как точки пересечения двух окружностей симметричны относительно линии центров.

Во многих случаях построения, производимые посредством циркуля, оказываются значительно точнее, чем построения, производимые с привлечением линейки. Это давно уже было обнаружено при практических измерениях и построениях (например, в техническом черчении, при разметке делительных кругов астрономических инструментов и т. п.). Итальянский геометр Лоренцо Маскерони (1750—1800) занялся в свое время исследованием конструктивных возможностей циркуля, посвятив этому вопросу специальную книгу "Геометрия циркуля" (1797). Недавно (в 1928 г.) была обнаружена книга датского геометра Георга Мора (1640—1697), написанная еще в 1672 г. под названием "Датский Евклид". В этой работе также разработана теория геометрических построений, производимых исключительно циркулем.