§ 2. Дополнительные замечания об аксиомах конструктивной геометрии

Система аксиом I—IX, изложенных в § 1, не является независимой. В настоящем параграфе мы сформулируем систему четырёх аксиом и покажем, что все аксиомы I—IX следуют из этой системы аксиом или содержатся в ней.

Как уже отмечалось выше, мы всегда предполагаем, что все рассматриваемые фигуры расположены в некоторой плоскости, которую мы условились называть основной плоскостью.

Аксиома 1. Основная плоскость построена.

Аксиома 2. Если построены две фигуры, то можно установить является ли их разность пустым множеством или нет.

Аксиома 3. Если разность двух построенных фигур не является пустым множеством, то эта разность также построена.

Следствие 1. Если две фигуры построены, то можно считать известным, является ли их пересечение пустым множеством или нет.

В самом деле, пусть фигуры построены. Обозначим через совокупность тех точек фигуры которые не принадлежат фигуре т. е. пусть Ясно, что можно представить также в виде: так что

Если построены фигуры и то в силу аксиомы 2 известно, является ли разность пустым множеством или нет. Если эта разность — пустое множество, то и мы можем сказать, что пересечение не пусто. Если же не пусто, то в силу аксиомы 3 считается построенной фигура т. е. фигура и в силу аксиомы 2 известно, является ли т. е. пустым множеством или нет. Следствие доказано.

Следствие 2. Если построены две фигуры и их пересечение не пусто, то это пересечение должно считаться построенным.

Это вытекает из аксиомы 3 в силу соотношения:

Следствие 3. Если построены две фигуры, то их соединение должно считаться построенным.

Доказательство. Пусть две построенные фигуры, основная плоскость. Если хотя бы одна из фигур или совпадает с то утверждение верно в силу аксиомы

Пусть отлично от II, а также отлично От силу аксиомы 3 должны считаться построенными фигуры

Воспользуемся теперь следующим тождеством (доказательство этого тождества см., например, в книге П. С. Александрова "Введение в общую теорию множеств и функций", гл. I, § 2, формула 1):

Если множество пусто, то следовательно, фигура должна считаться построенной в силу аксиомы 1. Если же не пусто, то фигура также должна считаться построенной в силу аксиомы 3.

Аксиома 4. Если построены две фигуры, пересечение которых не пусто, то можно построить по крайней мере одну точку, принадлежащую этому пересечению.

Следствие 4. Если построены две фигуры и какое-либо натуральное число, то всегда можно установить, содержит ли пересечение построенных фигур по крайней мере различных точек или оно содержит менее, чем точек.

Для доказательства этого следствия заметим прежде всего, что, согласно следствию 1, можно сказать, является ли пересечение построенных фигур пустым множеством или оно содержит хотя бы одну точку. В первом случае следствие, очевидно, справедливо. Во втором случае, согласно аксиоме 4, можно построить точку принадлежащую пересечению фигур В силу аксиомы 2 при этом будет известно, является ли пустым хотя бы одно из множеств а следовательно, является ли пустым множество Если это множество пусто, то точка является единственной общей точкой фигур Если же не пусто, то в силу аксиомы 4 можно построить хотя бы одну точку принадлежащую как фигуре так и фигуре

Рассмотрим теперь фигуры

Либо их пересечение пусто, и тогда имеют лишь общие точки либо их пересечение не пусто, и тогда можно построить третью общую точку фигур и

Повторяя это рассуждение, после конечного числа шагов мы получим ответ на поставленный вопрос: содержит ли пересечение по крайней мере точек или нет. Следствие доказано.

Следствие 5. Можно построить любое конечное число общих точек двух построенных фигур, если такие точки существуют.

Справедливость этого следствия непосредственно вытекает из хода доказательства следствия 4.

Следствие 6. Можно построить точку, заведомо принадлежащую построенной фигуре.

Доказательство. Пусть построена фигура Будем рассматривать её как пересечение двух фигур: так что В силу аксиомы 4 можно построить точку, принадлежащую пересечению т. е. фигуре

Следствие 7. Можно построить точку на основной плоскости, заведомо не принадлежащую построенной фигуре, если не все точки плоскости принадлежат этой фигуре.

Доказательство. Пусть на основной плоскости построгна некоторая фигура отличная от всей плоскости. Тогда в силу аксиом 1 и 3 должна считаться построенной также фигура В силу следствия 6 можно построить точку, принадлежащую фигуре а значит, заведомо не принадлежащую

Что касается понятия "данная фигура", то ему можно придавать тот же смысл, что и понятию "построенная фигура".