§ 3. Осевая симметрия

Две точки плоскости называются симметричными относительно прямой если они расположены на одном перпендикуляре к прямой и прямая делит отрезок пополам.

Преобразование, при котором каждой точке данной фигуры ставится в соответствие точка, симметричная ей относительно прямой называется осевой симметрией или отражением в прямой Прямая называется при этом осью симметрии.

Ясно, что осевая симметрия определяется любой парой несовпадающих соответственных точек : ось пройдёт через середину отрезка перпендикулярно к нему.

Рис. 87.

Для построения точки симметричной данной точке (не лежащей на достаточно провести из точки как центра какую-либо окружность, пересекающую а затем тем же радиусом провести из полученных точек пересечения две окружности. Точка их пересечения, отличная от и будет искомой точкой (рис. 87). Следовательно, построение симметричных точек можно осуществлять с помощью циркуля, прибегать к употреблению линейки нет надобиости.

Осевая симметрия является движением. Действительно, пусть в симметрии относительно точке соответствует точка А, а точке В — точка В (рис. 88). Тогда (по двум катетам), а поэтому Отсюда легко усмотреть, что и поэтому по

Двум сторонам и углу между ними. Следовательно, так что осевая симметрия преобразует каждую фигуру в равную ей фигуру.

Наше рассуждение проведено в предположении, что отрезок не перпендикулярен к оси симметрии. Если то доказательство лишь упрощается.

Рис. 88.

Применение осевой симметрии к решению задач на построение называют методом симметрии. Метод симметрии состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются также фигуры, симметричные некоторым из них относительно некоторой оси. При удачном выборе оси и преобразуемой фигуры решение задачи может значительно облегчиться, а в иных случаях симметрия непосредственно даёт искомые точки.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1. Прямая пересекает отрезок Найти на прямой такую точку X, чтобы прямая служила биссектрисой угла

Если А — отражение точки А в прямой (рис. 89), то по определению и

Рис. 89.

Поэтому следовательно, Таким образом, точка В должна располагаться на прямой иначе говоря, точка X должна

располагаться на прямой Поэтому точка X может быть построена как пересечение прямой с прямой

Задача имеет единственное решение, если расстояния точек от прямой не одинаковы. Если эти расстояния одинаковы, но точки не симметричны относительно прямой то задача вовсе не имеет решения (так как прямая пойдёт параллельно Наконец, если точки симметричны относительно то задача становится неопределённой: любая точка прямой удовлетворяет в этом случае условию задачи.

Пример 2. Построить треугольник, зная сторону прилежащий к ней угол и разность двух других сторон

Пусть (рис. 90) - искомый треугольник. Величины являются элементами треугольника

Рис. 90.

Чтобы ввести в чертёж данную величину достаточно отразить сторону в биссектрисе угла если при этом точьа С преобразуется в точку С, то точка С окажется на стороне причём отрезок . В треугольнике теперь известны две стороны и угол между ними, так что он легко может быть построен. Кроме этого, замечаем, что биссектриса угла В перпендикулярна прямой и делит отрезок пополам.

Итак, для построения треугольника надо предварительно построить треугольник по двум сторонам и углу между ними, а затем провести прямую, перпендикулярную через середину отрезка до пересечения

с лучом эта точка пересечения и явится третьей вершиной В искомого треугольника.

Доказательство не составляет труда.

Исследование. Заметим прежде всего, что по условию и поэтому следовательно, угол а должен быть острым. При этом условии симметраль точек пересечёт луч в том и только в том случае, когда острый, т. е. тупой, так что отрезок меньше проекции отрезка на прямую

Это неравенство не может осуществиться, если а 90°. Таким образом, соотношение выражает условие (однозначной) разрешимости задачи.

Симметрией часто пользуются для решения задач, связанных со спрямлением ломаных линий, в частности задач, содержащих в качестве данных суммы или разности звеньев ломаной, а также задач на построение фигур, дающих минимальное или максимальное значение некоторой величины.

Рис. 91.

Пример 3. Дан острый угол и внутри угла точка Найти на сторонах угла такие точки чтобы периметр треугольника был наименьшим.

Пусть (рис. 91) искомые точки. Построим отражение точки в сторонах угла — точки Тогда периметр треугольника равен

представляет собой периметр ломаной линии Очевидно, эта величина получит наименьшее значение, когда точки будут лежать на одной прямой, т. е. когда точки расположатся на прямой, соединяющей точки

Отсюда ясно, что для определения искомых точек достаточно построить отражения точки в сторонах угла соединить точки прямой и отметить точки пересечения этой прямой со сторонами угла (рис. 92).

Рис. 92.

Треугольник искомый.

Следующий пример иллюстрирует один употребительный приём решения задач на построение методом симметрии.

Пример 4. Построить ромб так, чтобы одна из его диагоналей была равна данному отрезку и лежала на данной прямой а, а остальные две вершины ромба лежали соответственно на данных прямых

Рис. 93.

Анализ. Пусть (рис. 93) искомый ромб,

Замечаем, что задача о построении ромба сводится к построению одной какой-либо из его вершин, например вершины С. По свойствам ромба точки симметричны относительно прямой а. Поэтому при зеркальном отражении в прямой а точка В преобразуется в точку С, а следовательно, прямая в некоторую прямую проходящую через точку С. Таким образом,

точка С может быть построена как точка пересечения прямых из которых одна дана, а другая легко строится.

Построение. Строим последовательно: прямую симметричную с прямой относительно прямой с; точку С, общую для прямых прямую точку точки на прямой а, отстоящие от точки О на расстояние искомый ромб.

Доказательство ввиду его простоты опустим. Исследование. Возможны следующие случаи: решений нет; 2) решений бесконечно много; 3) прямые пересекаются вне прямой а, одно решение; 4) прямые пересекаются на прямой а, решений нет.

Сущность приёма, применённого в последнем примере, состоит в следующем: задача сводится к построению точки, причём эта точка оказывается общей точкой некоторой данной фигуры и фигуры, симметричной другой данной фигуре относительно некоторой оси.

Аналогичный приём применяется также в задачах, решаемых при помощи других геометрических преобразований.