Глава VII. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ, НЕ РАЗРЕШИМЫЕ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ

§ 1. Предварительные замечания

Нетрудно указать примеры задач на построение, не имеющих решений. Нельзя вписать окружность в данный прямоугольник (не являющийся квадратом), нельзя провести касательную из данной точки к данной окружности, если точка эта расположена внутри данной окружности, и т. п.

Неразрешимы обычно так называемые "переопределённые" задачи, т. е. задачи, содержащие излишние условия: построить треугольник по двум сторонам и двум углам, провести окружность через четыре данные точки и т. п.

Значительно интереснее задачи, решение которых заведомо существует, но не может быть найдено при помощи тех или иных избранных инструментов геометрических построений. В этих случаях ставится задача о доказательстве невозможности выполнения данного построения данными средствами. Такого рода "доказательства невозможности" встречаются и в других разделах математики и часто принадлежат к числу наиболее трудных вопросов. Доказательство неразрешимости даже простых по формулировке задач на построение этого рода часто оказывается связанным с наиболее трудными вопросами алгебры и анализа и уводит далеко за пределы элементарной геометрии. Вопрос о разрешимости некоторых задач на построение (с помощью циркуля и линейки), возникших ещё в глубокой древности, был разрешён только во второй половине XIX в.

Лишь в редких случаях доказательство неразрешимости той или иной задачи на построение можно провести средствами элементарной геометрии. В качестве примера

покажем, что нельзя провести перпендикуляр к данной прямой через данную точку, пользуясь только линейкой.

Доказательство поведём способом "от противного".

Пусть в плоскости а задана точка и прямая а. Допустим, что оказалось возможным провести через точку прямую перпендикулярную к прямой а, пользуясь только линейкой. Это означает, что найдена конечная последовательность основных построений, которая всегда (т. е. независимо от выбора данной прямой а и данной точки приводит к построению искомого перпендикуляра.

Рис. 198.

Пусть (рис. 198) О - основание проведённого перпендикуляра. Проведём через данную прямую а какую-либо плоскость а, отличную от с, и в этой плоскости — наклонную к прямой а через точку О. Пусть -произвольная точка на прямой отличная от О. Представим себе, что сеть точек и прямых, построенная нами на плоскости а, проектируется на плоскость «лучами, параллельными прямой При этом точки будут проектироваться в точки (в частности прямые — в прямые (прямая а — в себя), причём будут сохраняться все отношения принадлежности, существующие между точками и прямыми, так что весь проведённый нами протесе построения в плоскости а в точности повторится в плоскости а.. И если в плоскости а найденная последовательность основных построений привела к построению перпендикуляра к прямой с, то и в плоскости о окажется, прямая перпендикулярна а. Но это заведомо не так.

Та же идея проектирования позволяет доказать, что исключительно линейкой нельзя разделить отрезок пополам, или провести параллель к данной прямой, или построить центр начерченной окружности.

В настоящей главе мы познакомимся с некоторыми классическими задачами на построение, решения которых не могут быть найдены с помощью циркуля и линейки. Особенно важно заметить, что эти же задачи решаются с привлечением других инструментов построения, а также допускают приближённое решение с помощью циркуля и лилинейки. Во многих случаях решения с другими инструментами не представляют никакого затруднения, а приближённые построения дают решения, практически вполне удовлетворительные. Поэтому исследования неразрешимости конструктивных задач представляют главным образом исторический и методологический интерес. Кроме того, они вскрывают связь теории геометрических построений с некоторыми важными вопросами других областей математики.