Глава VI. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МЕТОД

§ 1. Постановка задачи о построении отрезка, заданного формулой

В целом ряде случаев приходится решать следующую задачу.

Даны отрезки их длины при некоторой избранной единице измерения. Требуется построить с помощью данных инструментов отрезок у, длина которого у при той же единице измерения выражается через длины данных отрезков заданной формулой:

Мы говорим в этих случаях кратко, что строим выражение В качестве данных инструментов будем в этой главе принимать циркуль и линейку. Всюду в дальнейшем мы предполагаем, что функция задающая длину искомого отрезка через длины данных отрезков, рассматривается для таких значений положительных аргументов, при которых она имеет смысл и положительна.

Чтобы различить отрезок и его длину, мы будем обозначать отрезки строчными буквами с чертой сверху а их длины — теми же буквами без черты

Рассмотрим некоторые примеры.

1. Дан отрезок, принимаемый за единичный. Требуется построить отрезок, длина которого была бы равна числу Может показаться, что для построения искомого отрезка необходимо представить у в виде десятичной дроби (а его лишь приближённо можно представить в виде

конечной десятичной дроби) и затем отложить на прямой соответствующее число раз единичный отрезок, его десятые, сотые и т. д. доли. Однако существует совершенно иной способ, позволяющий построить искомый отрезок с помощью циркуля и линейки без всяких вычислений, притом не приближённо, а точно. Такой способ построения будет установлен ниже.

2. Пусть требуется построить несколько точек графика функции Например, надо построить на плоскости точку Может показаться, что для этого необходимо вычислить у приближённо и затем отложить на перпендикуляре к оси абсцисс в точке от этой точки последовательно целые, десятые, сотые и т. д. доли найденного приближённого значения корня. Очевидно, что таким образом мы действительно можем получить точку, ордината которой приблизительно равна у 5. Но можно построить отрезок длиной 5 без вычислений такого рода, притом теоретически абсолютно точно. О том, как это делается, скажем ниже.

3. Имеется два отрезка причём длины их равны соответственно 6,8 и 3,7. Требуется построить отрезок у, длина которого определяется формулой Мы увидим ниже, что для построения такого отрезка циркулем и линейкой вовсе не нужно ни возводить числа а в четвёртую степень, ни извлекать корень из разности этих степеней: всё это сделают циркуль и линейка.

Построение не усложнится, если а и b являются и более сложными для вычисления числами или даже не известны длины данных (начерченных) отрезков