§ 10. Построение тригонометрических выражений

С помощью циркуля и линейки можно построить ряд выражений, зависящих от тригонометрических функций известных углов.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Дан отрезок с и острый угол а. Построить отрезки х и у по формулам

Строим прямоугольный треугольник по гипотенузе с и углу а (рис. 196). Прилежащий к углу катет равен х, а противолежащий — у.

Рис. 196.

Рис. 197.

Пример 2. Построить отрезки х и у по формулам

где а — данный отрезок, данный угол.

Построение видно из рисунка 197. Здесь

Аналогично можно построить и отрезки по формулам

Замечание. Формулы определяют (при кривую линию, называемую астроидой. Пользуясь указанным в примере 2 построением, можно без всяких вычислений, выполняя лишь построения циркулем и линейкой, найти любое число точек, лежащих на этой лиьии.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Как ставится задача построения отрезка, заданного формулой?

2. Укажите несколько способов построения среднего геометрического к двум данным отрезкам.

3. Укажите способы построения четвёртого пропорционального к трём данным отрезкам.

4. Перечислите основные шаги построения корней квадратного уравнения

5. То же для уравнения вида

6. Как решить на основании формул Виета уравнение вида с помощью циркуля и линейки?

7. Какая функция называется однородной?

8. Приведите примеры однородных функций 1-го измерения, нулевого измерения, 4-го измерения.

9. Как построить циркулем и линейкой выражение вида где рациональная однородная функция 2-го измереиия от длин данных отрезков?

10. Какии свойством обладает функция, определяющая длину одного и того же отрезка при любом выборе единицы измерения?

11. Как строятся неоднородные выражения от длин данных отрезков?

12. Сформулируйте признак возможности построения циркулем и линейкой отрезка, заданного формулой. Разъясните, что значит необходимость и достаточность этого признака.

13. Каков план доказательства необходимости признака, упомянутого в вопросе 12?

14. В чём сущность метода алгебраического анализа при решении геометрических задач на построение?

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)