§ 6. Характеристическое свойство функции, определяющей длину одного и того же отрезка при любом выборе единицы измерения

Все рассмотренные в § 2, 3 и 5 выражения являются однородными функциями 1-го измерения от входящих в них длин отрезков. При построении этих выражений мы не интересовались вопросом, какой единицей длины измерены данные отрезки. Дело в том, что, как можно показать, в каждом из рассмотренных случаев при любом выборе единицы измерения мы получили бы один и тот же отрезок.

Однако не всякая функция определяет длину одного и того же отрезка при любом выборе единицы измерения.

Разъясним это на примерах.

Пусть а — данный отрезок. Рассмотрим две функции:

и

Для определённости положим, например, что отрезок а содержит Первая из рассматриваемых функций — однородная 1-го измерения, а вторая — однородная 2-го измерения.

Рассмотрим сначала 1-ю функцию. Примем за единицу Тогда Следовательно, — отрезок, содержащий Получим ли мы больший или меньший отрезок, если примем в качестве единичного отрезка не а другой отрезок? Пусть единичный отрезок равен 1 см. Тогда т. е. -отрезок, содержащий 80 см или, что то же, Итак, мы во втором случае получили такой же отрезок У, как и в первом случае. Можно показать, что такой же отрезок К мы получили бы и при всяком другом выборе единичного отрезка.

Перейдём теперь к рассмотрению 2-й функции: (которая не является однородной 1-го измерения). Если примем за единичный отрезок то а т. е. отрезок у должен содержать Если же принять за единичный отрезок 1 см, то т. е. отрезок у должен содержать 1600 см, или Таким образом, отрезок, который мы получаем во втором случае, в 10 раз больше отрезка, полученного в первом случае, так

что функция (2) определяет неравные между собой отрезки при различном выборе единичного отрезка.

Число можно рассматривать как ординату точки, имеющей абсциссу а и лежащей на параболе Аналогично можно истолковать как ординату точки, лежащей на прямой

Мы видели выше, что отрезок у, где зависит от выбора единицы измерения, в то время как отрезок для которого не зависит от этого.

Рис. 186.

Рис. 187.

Это различие проявляется между прочим в том, что график функции (рис. 186, 187) не изменится, если изменить единицу масштаба, а график функции в результате этого изменится.

Возникает вопрос: какими свойствами должна обладать положительная функция длины данных отрезков) для того, чтобы она при любом выборе единицы измерения определяла длину одного и того же отрезка? Оказывается, что это будет иметь место тогда и только тогда, когда однородная функция 1-го измерения от своих аргументов. Доказательство этой теоремы можно найти в [21], ч. 1 § 47.

Именно в силу этого свойства при построении однородных выражений 1-го измерения нет нужды указывать, помимо

данных отрезков, ещё и единичный отрезок: при любом выборе единичного отрезка в результате построения будет получен один и тот же отрезок. Совершенно иначе обстоит дело с построением неоднородных выражений, а также однородных выражений, но не 1-го измерения.