Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 3. Гомотетия окружностейТеорема Доказательство. Пусть гомотетичные соответственно точкам О к Теорема 2. Всякие две неравные окружности перспективно-подобны и обладают внешним и внутренним центрами подобия. Доказательство. Пусть даны две окружности
Рис. 117. Допустим сначала, что центры Покажем, что гомотетия 1) 2)
Пусть теперь проверить, что и обратно: каждая точка окружности Таким же образом можно показать, что данные окружности перспективно-подобны относительно центра Из хода доказательства теоремы выясняется следующий способ построения центров подобия двух неравных и неконцентричных окружностей
Рис. 118. Если радиусы Наше рассуждение проведено в предположении, что точки Теорема 3. Две несовпадающие окружности имеют не более одного внешнего центра подобия. Доказательство. Пусть прямая гомотетия в двух точках
Рис. 119. Но Коэффициент гомотетии Таким образом, Теорема доказана, так как существует только одна точка делящая отрезок Доказательство проводилось в предположении, что точки Аналогично можно доказать теорему: две несовпадающие окружности имеют не более одного внутреннего центра подобия. Если две окружности равны, то они имеют только внутренний центр подобия. Теорема 4. Если две неравные окружности имеют общую внешнюю касательную, то она проходит через их внешний центр подобия. Доказательство. Пусть (рис. 120) Прямая следует, что Аналогично доказывается и такая теорема: если две окружности имеют общую внутреннюю касательную, то она проходит через их внутренний центр подобия.
Рис. 120. Если две окружности касаются, то точка их касания является их центром подобия. В самом деле, в этом случае точка касания делит отрезок, соединяющий центры окружностей, внешним или внутренним образом в отношении, равном отношению радиусов данных окружностей, и поэтому, согласно предыдущему, служит центром подобия.
Рис. 121. Теорема 5. Если три окружности попарно не равны и центры их не лежат на одной прямой, то шесть центров подобия этих окружностей, рассматриваемых попарно, лежат по три на четырёх прямых. Доказательство. Обозначим центры подобия окружностей: внешние — через Рассмотрим, например, точки в точке Следовательно, Таким же образом доказывается эта теорема и в остальных случаях. Заканчивая этот параграф, мы должны предупредить читателя относительно некоторых распространённых ошибок, которые нередко допускают лица, изучающие гомотетию. 1. Неправильно думать, что центры подобия трёх попарно гомотетичных фигур всегда лежат на одной прямой. Пусть, например,
Рис. 122. Центрами подобия этих окружностей будут, очевидно, середины сторон треугольника 2. Неверно предложение: "в евклидовой плоскости две фигуры, гомотетичные третьей фигуре, гомотетичны между собой". Опровергающий пример приведён на рисунке 123. Треугольники
Если бы
Рис. 123. Примечание. Параллельный перенос можно рассматривать как предельный случай гомотетии, когда центр гомотетии неограниченно удаляется в бесконечность. В связи с этим некоторые авторы понимают гомотетию "в широком смысле", включая в это понятие и перенос. Можно показать, что две фигуры, гомотетичные третьей "в широком смысле", гомотетичны между собой также "в широком смысле".
|
1 |
Оглавление
|