§ 3. Гомотетия окружностей

Теорема При гомотетии всякая окружность преобразуется в некоторую окружность причём центр окружности преобразуется в центр окружности а отношение радиуса окружности к радиусу окружности равно абсолютной величине коэффициента гомотетии.

Доказательство. Пусть данная окружность, -произвольная её точка, точки,

гомотетичные соответственно точкам О к Тогда по свойству Итак, точка гомотетичная произвольной точке данной окружности лежит на окружности причём Аналогичными рассуждениями можно показать, что и обратно: каждая точка окружности гомотетична некоторой точке окружности

Теорема 2. Всякие две неравные окружности перспективно-подобны и обладают внешним и внутренним центрами подобия.

Доказательство. Пусть даны две окружности причём (рис. 117).

Рис. 117.

Допустим сначала, что центры различны. Разделим отрезок внешним и внутренним образом в отношении Получим точки такие, что

Покажем, что гомотетия преобразует окружность в окружность Легко убедиться прежде всего, что точка гомотетична точке Действительно:

1) лежат на одной прямой;

2) в силу самого выбора точки При этом — внешний центр подобия, так как

Пусть теперь произвольная точка окружности гомотетичная ей точка. Тогда, в силу свойства 4, § 2, . Но так как то Итак, точка гомотетичная точке в гомотетии располагается на окружности Нетрудно

проверить, что и обратно: каждая точка окружности гомотетична некоторой точке окружности гомотетии Поэтому окружности перспективно-подобны относительно центра подобия 5.

Таким же образом можно показать, что данные окружности перспективно-подобны относительно центра если рассматривать гомотетию относительно этого центра с коэффициентом —

Из хода доказательства теоремы выясняется следующий способ построения центров подобия двух неравных и неконцентричных окружностей Изберём произвольно точку на окружности (вне линии центров). Проводим диаметр окружности параллельный (рис. 118).

Рис. 118.

Если радиусы направлены одинаково, а радиусы противоположно, то в пересечении прямой с линией центров образуется внешний (5), а в пересечении прямой с линией центров внутренний центры подобия данных окружностей.

Наше рассуждение проведено в предположении, что точки различны. Если же две данные окружности концентричны, то общий их центф служит для них как внутренним, так и внешним центром подобия. Доказательство предоставляется читателю.

Теорема 3. Две несовпадающие окружности имеют не более одного внешнего центра подобия.

Доказательство. Пусть прямая гомотетия преобразует данную окружность в другую данную окружность Докажем, что в этом случае точка совпадает с точкой, делящей отрезок внешним образом в отношении т. е. Прежде всего заметим, что центр гомотетии (рис. 119) должен лежать на линии центров, т. е. на прямой, проходящей через точки Чтобы показать это, проведём прямую через Она пересечёт окружность в двух точках Но тогда она должна пересечь и окружность

в двух точках соответственно гомотетичных точкам ибо в противном случае гомотетия не была бы взаимно однозначным соответствием. Пусть теперь произвольная точка окружности отличная от точек Тогда гомотетичная ей точка должна лежать на окружности следовательно, является одной из точек пересечения окружности и прямой Соединим а Тогда должен быть равен

Рис. 119.

Но ибо диаметр окружности о; значит, и угол т. е. диаметр окружности При гомотетии середина отрезка преобразуется в середину отрезка (см. свойство 12 из § 2), т. е. точка преобразуется при гомотетии в точку Отсюда вытекает, что три точки лежат на одной прямой.

Коэффициент гомотетии

Таким образом, Кроме того, точка вне отрезка так как гомотетия, по условию, прямая.

Теорема доказана, так как существует только одна точка делящая отрезок внешним образом в данном отношении.

Доказательство проводилось в предположении, что точки не совпадают. Если же то доказательство лишь упрощается: в этом случае

Аналогично можно доказать теорему: две несовпадающие окружности имеют не более одного внутреннего центра подобия.

Если две окружности равны, то они имеют только внутренний центр подобия.

Теорема 4. Если две неравные окружности имеют общую внешнюю касательную, то она проходит через их внешний центр подобия.

Доказательство. Пусть (рис. 120) точки касания окружностей к их общей внешней касательной.

Прямая пересекает линию центров в некоторой точке 5. Из подобия треугольников и

следует, что С другой стороны, вне отрезка так как касательная внешняя. Поэтому точка 5 совпадает с внешним центром подобия 5 (см. доказательство теоремы 2).

Аналогично доказывается и такая теорема: если две окружности имеют общую внутреннюю касательную, то она проходит через их внутренний центр подобия.

Рис. 120.

Если две окружности касаются, то точка их касания является их центром подобия. В самом деле, в этом случае точка касания делит отрезок, соединяющий центры окружностей, внешним или внутренним образом в отношении, равном отношению радиусов данных окружностей, и поэтому, согласно предыдущему, служит центром подобия.

Рис. 121.

Теорема 5. Если три окружности попарно не равны и центры их не лежат на одной прямой, то шесть центров подобия этих окружностей, рассматриваемых попарно, лежат по три на четырёх прямых.

Доказательство. Обозначим центры подобия окружностей: внешние — через внутренние — соответственно через Докажем, что каждые три точки: располагаются на одной прямой.

Рассмотрим, например, точки Обозначим через (рис. 121) точку пересечения прямой с прямой Через проведём прямую, параллельную до пересечения с прямой

в точке Тогда Но из треугольников видно, что так что

Следовательно, внешний центр подобия окружностей и поэтому точка совпадает с точкой

Таким же образом доказывается эта теорема и в остальных случаях.

Заканчивая этот параграф, мы должны предупредить читателя относительно некоторых распространённых ошибок, которые нередко допускают лица, изучающие гомотетию.

1. Неправильно думать, что центры подобия трёх попарно гомотетичных фигур всегда лежат на одной прямой. Пусть, например, (рис. 122) — три равные окружности, центры которых не лежат на одной прямой.

Рис. 122.

Центрами подобия этих окружностей будут, очевидно, середины сторон треугольника которые, конечно, не лежат на одной прямой (ибо они служат вершинами треугольника, подобного треугольнику

2. Неверно предложение: "в евклидовой плоскости две фигуры, гомотетичные третьей фигуре, гомотетичны между собой". Опровергающий пример приведён на рисунке 123.

Треугольники неравнобедренные прямоугольные. получен из параллельным переносом по направлению

и порознь - гомотетичны треугольнику

Если бы были гомотетичны, то обязательно вершине соответствовала бы вершина вершиие вершина вершине вершина (в силу того, что при гомотетии угол преобразуется в равный ему угол). Центр гомотетии лежал бы одновременно на прямых т. е. в точке их пересечения. Но такой точки нет, ибо

Рис. 123.

Примечание. Параллельный перенос можно рассматривать как предельный случай гомотетии, когда центр гомотетии неограниченно удаляется в бесконечность. В связи с этим некоторые авторы понимают гомотетию "в широком смысле", включая в это понятие и перенос. Можно показать, что две фигуры, гомотетичные третьей "в широком смысле", гомотетичны между собой также "в широком смысле".