§ 2. Теорема Мора — Маскерони

Рассмотренные в § 1 задачи характерны тем, что искомыми фигурами являются точки. Ясно, что никакая задача, где требуется провести какую-либо прямую, не может быть решена исключительно циркулем: искомая прямая не может быть в действительности проведена, если разрешено употреблять только циркуль. Но положение прямой на плоскости определяется любыми двумя ее точками. Поэтому естественно считать, что прямая в известном смысле уже найдена, как только удалось построить две ее точки. Такая точка зрения находится в соответствии с теоретическими принципами геометрии и во многих случаях удовлетворяет практическим потребностям чертежника или геодезиста. Круг задач, разрешимых с помощью циркуля, при такой постановке вопроса значительно расширяется. Например, циркуль позволяет разделить пополам данный угол или найти перпендикуляр к данной прямой, проходящий через данную точку, так как в этих задачах линейка употребляется только для выполнения последней операции — для вычерчивания прямой.

Мор (в 1672 г.), а затем (в 1797 г.) Маскерони пришли к выводу, что все геометрические задачи на построение, решаемые при свободном пользовании циркулем и линейкой, могут быть решены исключительно циркулем.

Приведем доказательство этой интересной теоремы. Чтобы избежать недоразумений, которые часто возникают на почве того, что циркулем нельзя, конечно, строить прямые и отрезки, будем формулировать теорему Мора— Маскерони так:

Любая геометрическая задача на построение фигуры из конечного числа точек, разрешимая при наличии циркуля и линейки, может быть решена при наличии только циркуля.

При этом имеется в виду, что данная фигура состоит только из конечного числа точек, окружностей и их дуг, прямых, отрезков и лучей. Без этой оговорки теорема также может привести к недоразумению. Например, если на чертеже проведена синусоида и даны две точки то нельзя утверждать, что при наличии только циркуля можно построить точки пересечения этой линии с прямой хотя при наличии линейки эта задача, очевидно, разрешима (если точки пересечения существуют).

Условимся в этом параграфе называть прямую известной, если построены какие-либо две ее точки. Отрезок назовём известным, если построены его концы, а луч — если построены его начало и какая-либо принадлежащая ему точка.

Ясно, что "известная" прямая не является построенной: она может быть построена, если мы располагаем линейкой, но циркуль не даёт возможности построить "известную" прямую.

Пусть, отправляясь от некоторой данной фигуры, оказалось возможным построить некоторую фигуру состоящую из конечного числа точек, пользуясь циркулем и линейкой. Наша задача — установить, что все точки фигуры можно построить, употребляя для построений исключительно циркуль.

Построение фигуры с помощью циркуля и линейки состоит в том, что устанавливается конечная последовательность основных (для циркуля и линейки) построений (см. гл. I § 3), в результате выполнения которых будет построена фигура

Решая задачу с помощью циркуля и линейки, мы получаем точки лишь при выполнении следующих построений:

(1). Построение точки пересечения двух известных прямых (которые для этого предварительно строятся).

(2). Построение общих точек построенной окружности и известной прямой (для чего эта известная прямая строится на одном из предыдущих этапов построения).

(3). Построение общих точек двух построенных окружностей.

(4). Построение любого конечного числа точек, принадлежащих известной прямой (или известному лучу, или известному отрезку), для чего эта прямая предварительно строится.

(5). Построение любого конечного числа точек, принадлежащих построенной окружности (или дуге окружности).

(6). Построение точки, заведомо не принадлежащей соединению конечного числа построенных точек, построенных окружностей (или дуг окружностей) и известных прямых (для чего известные прямые предварительно строятся).

Понятно, что для выполнения построений (3) и (5) достаточно располагать только циркулем. Остается доказать, что и другие построения, указанные в этом списке, т. е. построения (1), (2), (4), (6), также выполнимы исключительно циркулем.

Иными словами, мы должны доказать, что при наличии только циркуля можно выполнить следующие построения:

(1)- Построить точку пересечения двух известных непараллельных прямых (не строя этих прямых).

(2). Построить точки пересечения построенной окружности и известной прямой (если такие точки существуют).

(4). Построить точки, принадлежащие известной прямой.

(6)- Построить точки, заведомо не принадлежащие соединению конечного числа построенных точек, построенных окружностей и известных прямых.

Чтобы доказать выполнимость построений (1), (2), (4) и (6) исключительно циркулем, решим предварительно следующую задачу:

Известны отрезки и с; построить, пользуясь только циркулем, четвёртый пропорциональный отрезок, т. е. такой отрезок х, чтобы с

Можно предполагать, что а так как в случае задача тривиальна, потому что с.

Изберём на плоскости произвольную точку О и проведём окружность (рис. 219).

Построим также концентрическую ей окружность Изберём произвольно точку А на окружности и точку А на окружности Пусть В — точка пересечения

окружности с окружностью точка пересечения окружности с окружностью (такая, что треугольники одинаково ориентированы). Теперь по трём сторонам, так что

Отсюда вытекает, что Следовательно, равнобедренный треугольник подобен равнобедренному треугольнику так что или, по построению, Таким образом, отрезок искомый.

Примечание. Описанный здесь способ построения четвёртого пропорционального отрезка не может быть применён, если так как в этом случае окружности не имеют общих точек. Если при этом , то в пропорции а следовательно и в ходе построения, можно поменять местами отрезки Если же и одновременно то строят отрезок а такой, что После этого строят отрезок Искомый отрезок х удовлетворяет условию а и может быть построен указанным ранее способом.

Переходим к рассмотрений основных построений

Построение Даны четыре точки Построить точку пересечения прямых и пользуясь только циркулем.

Рис. 219.

Рис. 220.

Допустим, что задача решена и точка (рис. 220) искомая. Построим точки симметричные точкам относительно прямой Искомую точку пересечения прямых

и можно рассматривать теперь как точку пересечений прямых и Если параллелограмм, то точки лежат на одной прямой. Точка может быть построена как точка пересечения окружностей и

Из подобия треугольников и видно, что Поэтому отрезок может быть построен как 4-й пропорциональный к трём известным отрезкам и Искомая точка найдётся после этого в пересечении окружностей и

Если прямые и окажутся перпендикулярными и на одной прямой), то решение задачи упрощается: искомая точка может быть построена как середина отрезка

Построение (2). Даны две точки и окружность Требуется построить общие точки прямой и окружности не проводя прямой

Рис. 221.

Пусть О (рис. 221) — точка, симметричная с точкой О относительно Обозначим через точки пересечения окружности с окружностью Так как каждая из этих точек одинаково удалена от точек то эти точки располагаются на прямой которая служит симметралью отрезка Значит, искомые точки. Если окружности и касаются, то их общая точка является искомой.

Построение (2) несколько усложняется, если точка О расположена на прямой в этом случае точки сольются и описанное построение не проходит. При таких условиях придётся воспользоваться следующей вспомогательной задачей.

Задача. Построить середину данной дуги окружности.

Пусть данная окружность, данная дуга этой окружности (рис. 222). Дополним фигуру до параллелограмма и до параллелограмма Для этого достаточно провести окружность и пересечь окружностями и Пусть одна из точек пересечения окружностей и Проводим окружность до пересечения с данной дугой в точке Тогда середина дуги Для доказательства этого обозначим искомую середину дуги буквой Тогда С другой стороны, по известному свойству параллелограмма получим: откуда Следовательно, Значит, так как Таким образом, откуда следует, что точка совпадает с серединой дуги

Рис. 222.

Пользуясь этой вспомогательной задачей, можно выполнить построение (2) в случае, если прямая проходит через центр О данной окружности

Рис. 223.

Для этого изберем на данной окружности произвольную точку С (рис. 223) и проводим окружность Пусть С — вторая точка пересечения этой окружности с данной окружностью. Тогда середины обеих дуг окружности и будут искомыми точками пересечения прямой с окружностью Может, конечно, случиться, что точка С совпадёт с точкой С. В этом случае точка С будет одной из искомых точек. Для построения второй искомой точки достаточно удвоить отрезок Построение (4). Пусть известны две точки Требуется построить произвольное количество точек

прямой не проводя этой прямой. Изберём произвольную точку С плоскости. Если она окажется расположенной на прямой то эта точка искомая. Допустим, что это не так.

Тогда построим (рис. 224) точку симметричную с точкой С относительно прямой После этого для получения новых точек прямой (на рисунке точки достаточно провести окружности и где произвольный отрезок, больший, чем (например, отрезок и построить точки их пересечения; эти точки заведомо принадлежат прямой так как каждая из них одинаково удалена от точек

Рис. 224.

Замечание. Описанный здесь приём можно было и не приводить, так как задачи 1 и 2 этого параграфа уже дают возможность построения произвольного числа точек на прямой, заданной двумя точками.

Построение (6). Пусть построены точек окружностей а также известны прямых Ищется точка, не совпадающая ни с одной из этих точек и не принадлежащая ни одной из этих прямых или окружностей.

Изберём произвольную точку А и какую-либо точку В, не лежащую ни на одной из построенных окружностей (для чего не требуется ни линейки, ни циркуля). Тогда окружность не совпадает ни с одной из окружностей Этой окружности могут принадлежать некоторые из точек на ней могут оказаться также точки пересечения с заданными окружностями. Изберём на окружности сверх этих, ещё точек. Тогда по крайней мере одна из этих точек удовлетворяет требованиям задачи, так как прямые могут встретиться с окружностью самое большее в точках. Путём конечного числа испытаний (см. § 1, задачу 3) среди избранных точек можно выделить искомую.

Теорема Мора — Маскерони, таким образом, доказана.

Для доказательства теоремы Мора — Маскерони можно воспользоваться также свойствами инверсии. Такой метод доказательства применяется в книге Адлера

Общий метод решения какой-либо геометрической задачи на построение исключительно циркулем состоит в том, что намечают план решения посредством циркуля и линейки, а затем пользуются изложенными здесь способами замены построений циркулем и линейкой построениями исключительно циркулем.