§ 6. Пантограф

Существует механизм, который даёт возможность вычертить фигуру, перспективно-подобную любой заданной фигуре, притом с любым положительным коэффициентом подобия. Это — пантограф. Впервые он был создан в начале XVII в.

Пантограф (рис. 135) состоит и в четырёх стержней и скреплённых шарнирно в точках D, С, F и А.

Рис. 135.

Эти точки выбираются так, что в некотором начальном положении пантографа четырёхугольник параллелограмм, причём точки лежат на одном луче, исходящем из точки Точка 5 закрепляется на плоскости неподвижно. Пусть длины стержней и равны соответственно тип. Когда точка А опишет какую-либо фигуру то точка В опишет некоторую фигуру соответствующую фигуре в гомотетии с центром в точке 5 и коэффициентом

Докажем это.

Пусть в некоторый момент пантограф рсположен так, что точки занимают соответственно положение причём точка лехит на линии Покажем, что точка гомотетична точке в гомотетии Для этого нужно показать, что: I точки лежат на одном луче, исходящем из точки 5 (для чего достаточно показать, что

Так как при перемещении пантографа стержни не меняют своей длиньц то По усювию параллелограмм. Следовательно,

Поэтому также параллелограмм. Значит, Поэтому

Кроме того, из подобия треугольников и следует, что значит

Из (2) и (3) ясно, что Поэтому

Отсюда следует, что лежат одном луче, исходящем из точки

Кроме того, ясно, что Но так как то что и требовалось показать.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Что такое гомотетия?

2. Во что преобразуется при гомотетии прямая? луч? отрезок? окружность? квадрат?

3. Площадь треугольника равна Чему равна площадь треугольника, соответствующего треугольнику в гомотетии с коэффициентом

4. Когда центр подобия двух фигур называете» внутренним и когда внешним?

5. Сколько центров подобия имеется у двух несовпадающих окружностей? Какие возможны случаи?

6. Построить центры подобия двух эксцентрических окружностей.

7. Сформулировать теорему о центрах подобия трёх окружностей.

8. Как построить фигуру, гомотетичную данному многоугольнику? данной окружности?

9. В чём состоит сущность метода подобия при решении задач на построение?

10. Что такое пантограф и как он устроен?

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)