Глава II. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК

§ 1. Понятие о геометрическом месте точек

Геометрическая фигура может быть задана различными способами: как пересечение или соединение данных фигур, путём указания определяющего её свойства, путём указания свойства, которым обладает каждая её точка, и т. п. Так, например, один и тот же отрезок (рис. 29) можно задать: 1) как пересечение лучей и как диаметр данной окружности перпендикулярный к данной прямой как совокупность середин всех хорд окружности параллельных прямой I, и другими способами.

Если фигура задана путём указания свойства, которым обладают все точки этой фигуры и только они, то такую фигуру называют геометрическим местом точек, обладающих указанным свойством.

Рис. 29.

Таким образом, геометрическим местом точек плоскости, обладающих указанным свойством, называется фигура, состоящая из всех тех и только тех точек плоскости, которые обладают этим свойством.

В нашем примере отрезок является геометрическим местом середин хорд окружности параллельных прямой

Свойство, при помощи которого характеризуется то или иное геометрическое место точек, называется характеристическим свойством точек этого геометрического места.

Часто новые фигуры вводятся в геометрию именно как геометрические места, например окружность — в школьном курсе геометрии, эллипс, гипербола и парабола — в курсе аналитической геометрии. При составлении уравнений линий в аналитической геометрии их рассматривают именно как геометрические места точек.

Геометрическое место точек может быть не только линией или совокупностью нескольких линий, но также конечной совокупностью точек, областью плоскости и др. Может оказаться также, что геометрическое место точек, обладающих некоторым указанным свойством, вовсе не существует.

Чтобы доказать, что фигура есть геометрическое место точек, обладающих указанным свойством, надо доказать следующие два взаимнообратные предложения: 1) каждая точка фигуры обладает этим свойством; 2) каждая точка, обладающая указанным свойством, принадлежит фигуре

В дальнейшем, ради краткости, вместо "геометрическое место точек", будем писать ГМТ.

Рассмотрим некоторые примеры.

Рис. 30.

Пример 1. Пусть даны две параллельные прямые и перпендикулярная к ним прямая с (рис. 30). Найдём ГМТ плоскости, равноудалённых от этих трёх прямых. Пусть Проведя через середину отрезка прямую I, параллельную прямым и взяв на этой прямой точки расположенные по разные стороны от прямой с на расстоянии от неё, легко заметить, что каждая из этих точек одинаково удалена от всех трёх данных прямых Других точек плоскости, обладающих таким свойством, не существует: если точка не принадлежит прямой I, то она неодинаково удалена от прямых если же точка расположена на прямой I и не совпадает ни с ни с то нетрудно понять, что она неодинаково удалена от прямых а а с. Таким образом, пара точек является геометрическим местом точек, расстояния которых от прямых и с одинаковы.

Пример 2. Рассмотрим плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных параллельных прямых равна данному отрезку.

Пусть данные параллельные прямые, расстояние между ними, данный отрезок. Заметим прежде всего, для каждой точки лежащей на любой из данных прямых, а также для всякой точки лежащей в полосе между этими прямыми (рис. 31), сумма расстояний от заданных прямых равна Для остальных же точек плоскости (например, для точки эта сумма больше Отсюда ясно:

1) Если то искомое ГМТ не существует.

2) Если то искомое ГМТ представляет совокупность всех точек, расположенных на заданных прямых и в полосе между ними.

Рис. 31.

Рис. 32.

3) Остаётся рассмотреть случай Пусть -пара прямых, параллельных данным прямым причём каждая из прямых расположена вне полосы, ограниченной прямыми и отстоит от одной из этих прямых на расстоянии .

Докажем, что искомое ГМТ есть эта пара прямых.

В самом деле (см. рисунок 32), пусть точка принадлежит прямой а или Пусть для определенности Тогда сумма расстояний точки от прямых равна Пусть точка не принадлежит ни прямой а, ни прямой Докажем, что сумма расстояний такой точки от прямых не равна Если точка лежит в полосе между данными прямыми или на одной из них, то сумма её расстояний от данных прямых равна следовательно, меньше Пусть теперь точка вне этой полосы и пусть для определенности она расположена

с той стороны от полосы, где лежит прямая а. Обозначим расстояние точки от прямой а через тогда Следовательно, сумма расстояний точки от данных прямых равна эта сумма не равна Итак, доказано, что совокупность двух прямых является искомым геометрическим местом точек.

Разнообразные примеры ГМТ возникают в связи с употреблением метода координат. Если на плоскости выбрана какая-либо система координат, то каждое уравнение между координатами точек определяет некоторую совокупность точек, а именно ГМТ, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Пример 3. Представим себе, что на плоскости выбрана некоторая прямоугольная система координат Рассмотрим ГМТ, координаты которых удовлетворяют уравнению

Заменяя через приходим к более простому соотношению

или

Последнее соотношение удовлетворяется при условии

т. е. при условии где любое целое число.

Рис. 33.

Таким образом, ГМТ, координаты которых удовлетворяют уравнению представляют собой сеть всех прямых, имеющих угловой коэффициент 1 или — 1 и пересекающих оси координат в точках с целочисленными координатами (рис. 33).