Глава III. ДВИЖЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ К ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ПОСТРОЕНИЯМ

§ 1. Общее понятие о точечных преобразованиях фигур

Пусть некоторая фигура, расположенная в плоскости. Пусть установлено некоторое правило, в силу которого каждой точке фигуры ставится в соответствие некоторая определённая точка той же плоскости. Тогда говорят, что в плоскости установлено преобразовние фигуры При этом точка называется образом точки а точку называют прообразом точки Совокупность всех точек, соответствующих точкам данной фигуры образует некоторую фигуру которая называется образом данной фигуры; при этом первоначальную фигуру называют прообразом фигуры

Фигура может быть, в частности, всей плоскостью.

Указанное выше правило соответствия может быть задано в словесной форме или осуществляться в форме определённого геометрического построения, или, наконец, формулироваться аналитически.

Следующие примеры дают представление о различных способах задания преобразований фигур.

Пример 1. Каждой точке плоскости ставится в соответствие эта же точка. Такое преобразование называется тождественным преобразованием плоскости. При этом преобразовании плоскости каждая фигура преобразуется в себя.

Пример 2. Каждой точке плоскости ставится в соответствие одна и та же точка О этой плоскости.

Пример 3. Пусть (рис. 74) некоторая сфера касается данной плоскости и пусть, центр этой сферы,

Для построения образа точки произвольно выбранной в данной плоскости, проводим отрезок и отмечаем точку его пересечения с данной сферой. Образом точки считаем ортогональную проекцию точки на. данную плоскость.

Рис. 74.

Пример 4. На данной плоскости строим прямоугольную систему координат. Пусть какая-либо точка плоскости. Если то полагаем т. е. принимаем за образ ту же точку.

Рис. 75.

Если же то полагаем Иначе говоря, сохраняем ординаты всех точек, а также сохраняем неположительные абсциссы, а положительные абсциссы уменьшаем на 1.

На рисунке 75 изображена некрторце точки и их образь] в данном преобразовании.

Наиболее важную роль в геометрии играют так называемые взаимно однозначные преобразования. Преобразование фигуры называется взаимно однозначным или однооднозначным -значным), если каждая точка фигуры-образа имеет только один прообраз.

Пример I представляет -значное преобразование всей плоскости в себя. В примере 3 описано -значное преобразование всей плоскости во внутреннюю часть круга, центром которого служит проекция точки О на плоскость а, а радиус равен радиусу данной сферы (на рис. 74 этот круг заштрихован). Простой пример взаимно однозначного преобразования полуокружности в отрезок получим, если сопоставим каждой точке полуокружности (рис. 76) её ортогональную проекцию на диаметр

Рис. 76.

Рис. 77.

Согласно определению, нарушение взаимной однозначности преобразования происходит вследствие того, что различные точки фигуры отображаются в одну и ту же точку фигуры так что некоторые точки фигуры будут обладать несколькими прообразами или даже бесконечным множеством прообразов. Так, преобразование, приведённое в примере 2, не является -значным, так как любую точку плоскости можно считать за прообраз точки О.

Рассмотрим ещё пример. Пусть каждой точке некоторой окружности (рис. 77) ставится в соответствие её проекция на один и тот же диаметр такое преобразование окружности в отрезок не будет -значным, так как каждая точка диаметра (за исключением его концов) будет служить образом двух различных точек окружности. Если же каждой точке некоторого круга сопоставить её проекцию на один и тот же диаметр этого круга, то каждая точка этого диаметра (кроме его концов) будет иметь бесконечно много прообразов, так что преобразование также не будет взаимно однозначным.

Приведённый выше пример 4 интересен тем, что каждая точка абсцисса которой положительна, или меньше, чем минус единица, обладает единственным прообразом Таковы точки А и С (рис. 75). Точки же для которых обладают двумя прообразами: Таковы, например, точки (рис. 75). Следовательно, преобразование, описанное в примере 4, не является взаимно однозначным.

В случае -значного преобразования помимо данного соответствия возникает одновременно соответствие так как каждая точка фигуры обладает единственным, вполне определённым прообразом. Это новое преобразование, которое ставит в соответствие каждой точке фигуры её прообраз в данном преобразовании, называют обратным данному преобразованию и обозначают знаком

Среди взаимно однозначных преобразований особую роль играют движения.

Движением на плоскости называют в геометрии всякое преобразование, обладающее следующим свойством: если —две произвольные точки фигуры преобразующиеся соответственно в точки то отрезки и равны между собой.

Из самого определения следует, что движения суть -значные преобразования: если бы две различные точки преобразовались движением в одну и ту же точку А, то, по определению, имело бы место соотношение т. е. точки совпадали бы, что невозможно.

Понятие равенства отрезков в современной геометрии вводится иногда без определения. Относительно этого понятия предполагается только, что оно удовлетворяет некоторым аксиомам. Мы принимаем именно эту точку зрения. Возможна и другая точка зрения, когда в качестве основного понятия принимается понятие движения, после чего понятие равенства определяется с помощью понятия движения. Вопрос о равенстве и движении подробно рассмотрен, например, в [20], § 18, 19 и 30. Заметим, что при наличии некоторых инструментов (например, при наличии циркуля) для двух данных отрезков всегда можно установить, равны они или нет.

Можно доказать, что движение преобразует отрезок в отрезок, прямую — в прямую, луч луч, окружность - в окружность того же радиуса.

Две произвольные фигуры принято называть равными, если существует движение, преобразующее одну из них в другую, так что всякое движение преобразует каждую фигуру в равную ей фигуру.

Применение преобразований к геометрическим построениям часто называют в теории геометрических построений методом геометрических преобразований. Идея метода геометрических преобразований состоит в том, что искомую или данную фигуру преобразуют так, чтобы после этого построение стало проще или даже непосредственно свелось к какой-либо элементарной задаче.

После этих предварительных замечаний перейдём к рассмотрению некоторых видов движений и их применений к геометрическим построениям.