§ 6. Инвариантные окружности

При инверсии базисная окружность преобразуется в себя (§ 1, свойство 5). Существуют ли другие окружности, обладающие таким свойством?

Напомним некоторые определения.

Углом между двумя линиями в точке их пересечения называется угол между касательными к этим линиям, проведёнными в точке

Две окружности называются ортогональными, если они пересекаются под прямым углом. Если две окружности ортогональны, то их радиусы, проведённые в точку пересечения, перпендикулярны между собой, и наоборот. Отсюда вытекает способ построения окружностей, ортогональных данной окружности в данной точке Для этого достаточно на касательной к окружности в точке выбрать произвольную точку и построить окружность которая и будет искомой (рис. 148).

Ответим теперь на вопрос, поставленный в начале этого параграфа.

Теорема. Для того чтобы окружность, отличная от базисной окружности, преобразовалась при инверсии в себя, необходимо и достаточно, чтобы она была ортогональна базисной окружности.

Доказательство. 1) Достаточность. Пусть окружность (рис. 149) ортогональна базисной окружности Докажем, что окружность преобразуется в себя. Пусть произвольная точка окружности у.

Рис. 148.

Рис. 149.

Проведём прямую Она пересечёт окружность у ещё в некоторой точке (если прямая касается окружности у, то за примем точку

Так как окружность у ортогональна окружности то радиус соединяющий центр инверсии с точкой пересечения окружностей, касается окружности у. Поэтому так что точка инверсна точке Итак, при инверсии относительно окружности каждая точка окружности у преобразуется в точку также лежащую на окружности у.

Принимая во внимание свойство взаимности инверсных точек (§ 1, свойство 1), можно заключить также, что и обратно: каждая точка окружности у служит образом некоторой точки этой же окружности. Таким образом, окружность у преобразуется в себя.

2) Необходимость. Пусть окружность у, отличная от базисной окружности инверсии, преобразуется в себя. Докажем, что у — окружность, ортогональная базисной. Так как окружность у отлична от окружности то она

содержит точку не лежащую на Пусть точка инверсна точке (рис. 149); тогда одна из двух точек находится вне, а другая внутри окружности Следовательно, окружность пересекает окружность Обозначим через одну из точек их пересечения. Покажем, что — касательная к окружности у. Это можно установить способом "от противного". Допустим, что, помимо точки прямая встречает окружность у ещё в точке Заметим, что точки расположены по одну сторону от точки О, так что точка О расположена вне окружности В силу известного свойства секущих, проведённых из одной и той же точки к окружности, И так как то и Следовательно, точка должна совпасть с точкой вопреки допущению. Итак, касательная к окружности Следовательно, окружности и ортогональны.

Теорема. Если окружность проходит через две взаимно инверсные точки, то при инверсии она преобразуется в себя.

Доказательство. Пусть окружность проходит через точки инверсные относительно окружности Тогда Ясно, что точка О вне окружности 7. Пусть произвольная точка на окружности у (рис. 150). Проведём луч и пусть он встречает окружность у в точках (в случае касания луча с окружностью тогда т. е. точка инверсна точке Итак, если какая-либо точка лежит на окружности у, то инверсная ей точка также лежит на этой окружности. Отсюда заключаем, что при инверсии окружность у преобразуется в себя.

Рис. 150.

Следствие. Окружность, проходящая через две взаимно инверсные точки, ортогональна к базисной окружности инверсии. Все окружности, проходящие через две взаимно инверсные точки, образуют эллиптический пучок, состоящий из окружностей, ортогональных базисной окружности инверсии