§ 9. Задача Аполлония

Методом инверсии может быть решена в общем случае известная задача Аполлония о касании окружностей:

Построить окружность, касающуюся трёх данных окружностей.

Эта задача впервые была решена известным греческим геометром Аполлонием Пергским в III в. до н. э. в сочинении, которое до нас не дошло, но о котором упоминают некоторые древние математики (например, Папп). Способ, с помощью которого решил эту задачу Аполлоний, неизвестен. Многие задачи из числа рассматриваемых в школьном курсе геометрии представляют частные или предельные случаи задачи Аполлония. Частные случаи возникают при специальном расположении данных окружностей, предельные — когда все или некоторые из данных окружностей вырождаются в точки (радиус окружности неограниченно уменьшается) или прямые (радиус неограниченно возрастает).

Прежде чем решить задачу Аполлония в общем случае, рассмотрим некоторые частные и предельные её случаи.

Задача 1. Построить окружность, проходящую через три данные точки.

Решение общеизвестно.

Задача 2. Построить окружность, касающуюся трёх данных прямых. Решение этой задачи также общеизвестно. Она может иметь до четырёх решений.

Задача 3. Построить окружность, проходящую через данную точку и касающуюся двух данных параллельных прямых. Решение этой задачи изложено в § 6 гл. II.

Задача 4. Построить окружность, проходящую через данную точку и касающуюся двух данных пересекающихся прямых. (Решение см. [9], гл. III, раздел IV.)

Задача 5. Построить окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой.

Эта задача может быть решена методом инверсии, если за центр инверсии принять одну из данных точек, а её

расстояние до Данной прямой принять за радиус инверсии. Она может быть решена и без инверсии (см. § 8, гл. 2).

Задача 6. Построить окружность, касающуюся данной окружности и проходящую через две данные точки.

Эту задачу мы решили в предыдущем параграфе в предположении, что данные точки расположены вне данной окружности. В других случаях решение аналогично или ещё проще.

Задача 7. Построить окружность, касающуюся трёх данных окружностей, проходящих через одну общую точку

Если принять общую точку трёх данных окружностей за центр инверсии, то эти окружности преобразуются в три прямые. Таким образом, задача сводится к построению окружности, касающейся трёх построенных прямых. Искомая окружность — образ этой окружности в данной инверсии.

Переходим к решению задачи Аполлония в общем случае, причём остановимся лишь на основных моментах этого решения, не вникая в отдельные его детали.

Решение, которое мы дадим, основано на предварительном решении двух вспомогательных задач (представляющих предельный и частный случаи общей задачи Аполлония).

Рис. 158.

1-я вспомогательная задача: построить окружность, касающуюся двух данных параллельных прямых и данной окружности.

Задача обычно решается методом геометрических мест. Пусть данные прямые, данная окружность (рис. 158). Из произвольной точки А на прямой а опускаем перпендикуляр на прямую Через середину С отрезка проводим прямую с параллельно а. Строим окружность 8 с центром в точке О радиуса (или радиуса Отмечаем точку пересечения этой окружности с прямой с; это и будет центр искомой окружности.

Эта задача может иметь до четырёх различных решений.

2-я вспомогательная задача: построить окружность, касающуюся трёх данных окружностей, если две из них взаимно касаются.

Эта задача решается методом инверсии. Пусть и — данные окружности, причём касаются в точке (рис. 159). Примем точку за центр инверсии, а за радиус инверсии — произвольный отрезок (удобно избрать его так, чтобы базисная окружность пересекла окружности и -При инверсии окружности и преобразуются в пару параллельных прямых и (см. § 3), а окружность — в некоторую окружность (или прямую) Построить окружность у, касающуюся прямых и и линии мы умеем (см. 1-ю вспомогательную задачу). При инверсии этой окружности она преобразуется в окружность (или прямую) у, которая будет касаться трёх данных окружностей

Рис. 159.

Решение задачи Аполлония в общем случае сводится к этой 2-й вспомогательной задаче. Мы воспользуемся для этого приёмом, иногда называемым "методом расширения".

Для определённости рассмотрим тот случай, когда каждая из трёх данных окружностей расположена вне двух других (см. рис. 160). В других случаях решение проводится аналогично.

Пусть данные

Рис. 160.

окружности. Пусть, Далее, прямая пересекает окружность в точках а окружность точках Из четырёх отрезков выберем кратчайший. Пусть это будет отрезок Обозначим через его середину. Увеличим радиусы всех данных окружностей на отрезок т. е. построим окружности Из них окружности касаются в точке Мы можем теперь построить окружность касающуюся трёх окружностей ( вспомогательную задачу). Обозначим центр окружности через О, а радиус — через Если затем построить концентрическую ей окружность то эта последняя будет касаться трёх данных окружностей.

Число всех возможных решений задачи Аполлония зависит от взаимного расположения данных окружностей. Приведём без доказательства несколько примеров.

1. Если окружность расположена внутри окружности а окружность вне окружности (рис. то задача Аполлония вовсе не имеет решения.

Рис. 161.

Рис. 162.

Это относится, в частности, и к случаю, когда все три данные окружности концентрические.

2. Если две окружности касаются, а третья окружность пересекает их в точке их касания, то задача Аполлония имеет два решения (рис. 162).

3. Если каждая из данных окружностей расположена вне двух других, причём касательная к каждым двум из данных окружностей не имеет общей точки с третьей окружностью, то задача имеет восемь решений (рис. 163).

4. Если все три данные окружности попарно касаются в одной точке, то можно провести бесконечно много окружностей, касающихся каждой из данных (см. рис. 164).

Рис. 163.

Рис. 164.

Полное исследование показывает, что если задача Аполлония имеет лишь конечное число решений, то их не более восьми.