ВВЕДЕНИЕ

Геометрические построения привлекли внимание древнегреческих математиков ещё в VI—V вв. до нашей эры. Ими занимались почти все крупные греческие геометры: Пифагор (VI в. до н. э.) и его ученики, Гиппократ (V в. до н. э.), Евклид, Архимед, Аполлоний (III в. до н. э.), Папп (III в. н. э.) и многие другие.

Математики из школы Пифагора уже сумели справиться с такой сравнительно сложной задачей, как построение правильного пятиугольника. В V в. до н. э. возникли знаменитые классические задачи о квадратуре круга, об удвоении куба, о трисекции угла (см. гл. VII). Эти задачи, которые, как оказалось впоследствии, не разрешимы с помощью циркуля и линейки, в течение многих веков вызывали живейший интерес различных исследователей. В IV в. до н. э. греческие мыслители разработали ту общую схему решения геометрической задачи на построение (анализ — построение — доказательство — исследование), которой мы пользуемся и поныне.

Вся история геометрии и некоторых других разделов математики тесно связана с развитием теории геометрических построений. Важнейшие аксиомы геометрии, сформулированные основоположником научной геометрической системы Евклидом около 300 г. до н. э., ясно показывают, какую роль сыграли геометрические построения в формировании геометрии. "От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию", "Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать", "Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг" — эти постулаты Евклида явно указывают на основное положение конструктивных методов в геометрии древних.

Древнегреческие математики считали "истинно геометрическими" лишь построения, производимые циркулем и линейкой, не признавая "законным" использование других средств для решения конструктивных задач. При этом, в соответствии с постулатами Евклида, они рассматривали линейку как неограниченную и одностороннюю, а циркулю приписывалось свойство чертить окружности любых размеров. Эта традиция до сих пор сказывается в школьном курсе геометрии. С другой стороны, именно греки первые стали привлекать для геометрических построений другие средства, отличные от циркуля и линейки. Так, например, Платон около 400 г. до н. э. решал задачу об удвоении куба с помощью двух прямых углов. Архимед дал решение задачи о трисекции угла с помощью линейки с двумя пометками. Ту же задачу решали с помощью различных кривых Никомед (с помощью конхоиды), Диоклес (с помощью циссоиды), Папп и другие.

Древнегреческие геометры успешно справлялись с труднейшими задачами на построение с помощью циркуля и линейки. Так, например, Аполлоний Пергский решил известную задачу, носящую его имя: "Построить окружность, касающуюся трёх данных окружностей". Некоторые вопросы алгебры связывались в то время учёными с решением конструктивных задач. Например, решение уравнений первой и второй степени греки давали в геометрической форме. При этом корни уравнений находились с помощью определённых геометрических построений.

Средневековье мало дало в области развития конструктивной геометрии, хотя ею занимались многие математики этого времени. Достаточно сказать, что некоторые задачи, решённые древнегреческими математиками, оказались не под силу математикам первых полутора тысячелетий нашей эры. Так, например, задача Аполлония, решение которой было утрачено, была снова решена только в XVI в. (её решил известный французский математик Франсуа Виет).

Только в новое время (XVII—XX вв.) теория геометрических построений стала развиваться дальше главным образом в связи с созданием новых разделов математики. С другой стороны, и вопросы конструктивной геометрии наряду с другими стимулами способствовали созданию новых математических теорий и методов. В тесной связи с геометрическими построениями оказались аналитическая геометрия, проективная геометрия, начертательная геометрия, теория

алгебраических уравнений (в частности, вопросы приводимости уравнений), теория алгебраических и трансцендентных чисел, теория аналитических функций.

Много внимания уделяли конструктивным задачам творцы современной математики: Декарт, Ферма, Ньютон, Паскаль, Эйлер, Гаусс и другие. Так, например, Декарт и Ньютон решали задачу о трисекции угла с помощью конических сечений. Независимо от Виета Декарт, Ньютон, Эйлер дали свои решения задачи Аполлония, а Ферма решил аналогичную задачу для пространства. Декарт, создатель аналитической геометрии, успешно применял метод координат к решению задач на построение.

В XVII—XIX вв. разрабатывается теория геометрических построений с помощью различных инструментов, отличных от принятых древними. Уже Леонардо да Винчи (1452—1519) рассматривал построения с помощью линейки и циркуля постоянного размаха. Датчанин Мор (1672) и итальянец Маскерони (1797) изучали построения, выполнимые циркулем, и обнаружили, что циркуль позволяет решить всякую конструктивную задачу, разрешимую циркулем и линейкой. К не менее интересным выводам приходят основоположники проективной геометрии Штейнер (1833) и Понселе (1822), исследовавшие геометрические построения, выполняемые линейкой при наличии начерченной окружности с отмеченным центром.

1°. После работ этих авторов появляется ряд исследований о построениях с помощью двусторонней линейки (с параллельными краями), с помощью угольника и других инструментов. Один из крупнейших геометров конца XIX и начала XX в. Д. Гильберт в своей классической книге "Основания геометрии" рассматривает построения с помощью линейки и эталона длины.

Ещё в XVIII в. (1774) швейцарец Ламберт рассматривал некоторые задачи на построение на ограниченном куске плоскости. Этот же вопрос о построениях "с недоступными элементами" неоднократно изучался впоследствии, так как он представляет большой интерес для практики чертёжника и геодезиста.

Многовековые неудачные попытки решить классические задачи о квадратуре круга, об удвоении куба, о трисекции угла навели на мысль, что эти задачи вовсе не разрешимы циркулем и линейкой (такое предположение относительно задачи о квадратуре круга высказал ещё в XV в. Леонардо

да Винчи, а позднее — Шгифечь и изобретатель известного измерительного прибора Нониус). В связи с этим возникла необходимость выяснить, какие задачи разрешимы циркулем и линейкой. Этот вопрос оказался тесно связанным с алгебраической проблемой разрешимости уравнений в радикалах (в частности, в квадратных радикалах). Замечательные исследования, проведённые в этой области К. Гауссом (1777—1855), позволили ему в 1796 г. полностью решить одну из наиболее трудных проблем конструктивной геометрии: каким должно быть натуральное число чтобы правильный -угольник можно было построить циркулем и линейкой? Задача о квадратуре круга привела к глубоким исследованиям в области теории чисел, связанным с изучением свойств числа и. Эти исследования, которые были закончены лишь во второй половине XIX в., позволили доказать, что задача о квадратуре круга не разрешима циркулем и линейкой.

На базе накопленного фактического материала в конце XIX и в XX в. появляется ряд сочинений, обобщающих результаты теории геометрических построений, — работы Ф. Клейна и Энриквеса, "Теория геометрических построений" А. Адлера и др. К работам такого рода относятся также недавно опубликованные книги Лебега [34], Бибербаха [33]. Принципиальным вопросам теории геометрических построений посвящены глубокие исследования С. О. Шатуновского [28], [29]. Всеобщую известность получила превосходная книга И. И. Александрова "Методы решения геометрических задач на построение", впервые вышедшая в 1881 г.; до сих пор она остаётся одним из лучших пособий по конструктивной геометрии.

Ряд интересных работ по теории и методике геометрических построений напечатан советскими учёными Н. Ф. Четверухиным, Д. Д. Мордухай-Болтовскими другими.

Геометрические построения в евклидовой плоскости, которые изучались древними и преимущественно изучаются и поныне, существенно зависят от аксиом евклидовой геометрии. В геометрии, созданной гениальным русским учёным Н. И. Лобачевским, имеет место иная система аксиом, а поэтому и теория геометрических построений во многом иная. Решение ряда важнейших задач на построение в неевклидовой плоскости было дано ещё в 1832 г. замечательным

венгерским математиком Я. Бпяи (1802—1860). Фундаментальные исследования в этой области принадлежат советским учёным - Д. Д. Мордухай-Болтовскому и его ученикам, а также А. С. Смогоржевскому (см. об этом в 118).

Большой практический интерес представляют приближённые способы решения геометрических задач на построение. Часто оказывается, что приближённый способ решения с точки зрения чертёжной практики значительно выгоднее и проще теоретически точного способа построения. В течение многовековой истории конструктивной геометрии были даны многие интересные приближённые способы решения знаменитых классических задач, а также и многих других задач. Ещё Архимед дал приближённый способ построения правильного семиугольника; из его же исследований можно вывести приближённый способ решения задачи о квадратуре круга. Приближённые методы геометрических построений составляют в настоящее время важную часть теории геометрических построений.

Практический и теоретический интерес представляют также исследования относительно критериев точности и сравнительной простоты различных способов решения той или иной задачи теми или иными средствами (так называемая геометрография).

В настоящее время теория геометрических построений представляет обширную и глубоко развитую область математики, связанную с решением разнообразных принципиальных вопросов, уходящих в другие ветви математики.

Изложение многих геометрических вопросов опирается на геометрические построения. Это особенно характерно для "доказательств существования": существование центра окружности, вписанной в треугольник, существование подобных треугольников, существование параллельных прямых и др. доказывается с помощью построений.

Основные этапы решения геометрической задачи на построение характерны для плана решения любой содержательной математической задачи: анализ, синтез, доказательство и исследование являются его необходимыми элементами.

Теория геометрических построений составляет теоретическую основу практической графики: многие чертёжные приёмы опираются на решения геометрических задач на построение.

Геометрические построения могут сыграть серьёзную роль в математической подготовке школьника. Ни один вид задач не даёт, пожалуй, столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Эти задачи обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащийся приобретает много полезных чертёжных навыков.